(5 pontos) Considere os axiomas e propriedades de probabilidade dadas de a) ad) a seguir:
а)
;
b)
, para
uma partição do espaço amostral
;
c)
; para
, um evento aleatório associado ao espaço amostral;
d)
; para
, um evento aleatório associado ao espaço amostral.
Considere as afirmações acerca de probabilidades abaixo. Em cada uma delas um axioma ou propriedade de probabilidade apresentados acima (letras
) foi violado. Indique qual dos axiomas ou propriedades dadas acima foi violada indicando entre os parênteses a letra correspondente.
i)( ) A probabilidade de alguém obter nota máxima na prova sem estudar é menor que zero;
ii)( ) A probabilidade de um novo restaurante ser lucrativo é igual a 0,35 , mas a probabilidade de dar prejuízo é o triplo;
iii)( ) As probabilidades para cada um dos 3 candidatos a prefeito de um certo município serem eleitos são, respectivamente: 0,
e 0,3 ;
iv)( ) Não é nula a probabilidade da soma dos lados de dois dados lançados ser menor que 2;
v)( ) Ao lançar um dado com certeza veremos um número inferior a dez, desta forma podemos dizer que a probabilidade de tal evento acontecer é 10;
vi)( ) A probabilidade de chover hoje no deserto do Saara é -1 , haja vista que este evento não ocorrerá.
а)
b)
c)
d)
i)( ) A probabilidade de alguém obter nota máxima na prova sem estudar é menor que zero;
ii)( ) A probabilidade de um novo restaurante ser lucrativo é igual a 0,35 , mas a probabilidade de dar prejuízo é o triplo;
iii)( ) As probabilidades para cada um dos 3 candidatos a prefeito de um certo município serem eleitos são, respectivamente: 0,
iv)( ) Não é nula a probabilidade da soma dos lados de dois dados lançados ser menor que 2;
v)( ) Ao lançar um dado com certeza veremos um número inferior a dez, desta forma podemos dizer que a probabilidade de tal evento acontecer é 10;
vi)( ) A probabilidade de chover hoje no deserto do Saara é -1 , haja vista que este evento não ocorrerá.
Passo 1
O enunciado dá quatro axiomas/propriedades (vou copiar exatamente como estão) e pede que, para cada uma das afirmações i)–vi), eu indique qual dessas letras foi violada (colocar entre parênteses a letra correspondente).
Axiomas/propriedades fornecidos:
- a)
. - b)
, para uma partição do espaço amostral . - c)
; para um evento. - d)
; para um evento.
O que é pedido:
- Para cada afirmação i) a vi), indicar qual axioma/propriedade (uma das letras
) foi violada, escrevendo a letra entre parênteses.
Passo 2
Antes de analisar item a item, um lembrete prático sobre como identificar violações (curtinho e direto, estilo amigo que te dá a cola):
- A regra de não-negatividade diz que nenhuma probabilidade pode ser negativa: para todo evento
, . Essa é a propriedade . - A regra do máximo diz que nenhuma probabilidade pode ser maior que 1: para todo evento
, . Essa é a propriedade . - Se um conjunto de eventos forma uma partição (são mutuamente exclusivos e cobrem todo o espaço), então as suas probabilidades somam exatamente
. Essa é a propriedade . - O evento impossível é o conjunto vazio
e deve ter probabilidade zero: . Essa é a propriedade .
Vou aplicar essas ideias a cada item, mostrando os cálculos/razões que usamos para decidir qual letra foi violada.
Passo 3
Analisando i) “A probabilidade de alguém obter nota máxima na prova sem estudar é menor que zero.”
- A afirmação atribui uma probabilidade negativa ao evento “obter nota máxima sem estudar”.
- Isso entra diretamente em conflito com a regra de não-negatividade.
- Portanto a propriedade violada é a letra
, pois exige .
Passo 4
Analisando ii) “A probabilidade de um novo restaurante ser lucrativo é igual a
, mas a probabilidade de dar prejuízo é o triplo.”
- Se a probabilidade de lucrar é
, então a probabilidade de prejuízo, sendo o triplo, é - Aqui temos duas observações possíveis: (i) o número
é maior que , violando a regra (propriedade ); (ii) se os eventos “ser lucrativo” e “dar prejuízo” formam uma partição (isto é, são mutuamente exclusivos e cobrem todas as possibilidades, como frequentemente se assume nesse tipo de enunciado), então suas probabilidades deveriam somar pela propriedade ; porém
logo a soma da partição não é
, violando
.
- Quando há mais de uma violação óbvia, devemos escolher a que melhor corresponde ao contexto dado. Como o enunciado contrasta explicitamente “ser lucrativo” com “dar prejuízo” (parecem ser os dois resultados principais do negócio), o cenário natural é tratá‑los como partição do espaço de resultados. Assim a violação mais direta do enunciado é da propriedade
(a soma das probabilidades de uma partição deve ser , e aqui soma ). - Portanto assinalamos a letra
.
Passo 5
Analisando iii) “As probabilidades para cada um dos 3 candidatos a prefeito … são, respectivamente:
;
; e
.”
- Se os três candidatos cobrem todas as possibilidades (um deles será eleito), então eles formam uma partição do espaço amostral.
- Pela propriedade
a soma das probabilidades dessa partição deve ser . Vamos somar:
- Como
, a soma não bate com a exigida por . - Observação: nenhum dos valores individuais ultrapassa
e nenhum é negativo, então e não são diretamente violadas por cada valor isolado; a violação é claramente da soma da partição. - Portanto a letra violada é
.
Passo 6
Analisando iv) “Não é nula a probabilidade da soma dos lados de dois dados lançados ser menor que
.”
- Quando se lançam dois dados comuns (faces
a ), a menor soma possível é . Não existe resultado com soma menor que . Portanto o evento "soma menor que " é impossível — corresponde ao conjunto vazio . - Pela propriedade
temos . A afirmação diz que a probabilidade não é nula (ou seja, ), contrariando diretamente . - Logo a propriedade violada é
.
Passo 7
Analisando v) “Ao lançar um dado com certeza veremos um número inferior a dez, desta forma podemos dizer que a probabilidade de tal evento acontecer é
.”
- O evento "ver um número inferior a
" ao lançar um dado é um evento certo (todas as faces são menores que ), portanto sua probabilidade correta é . - A afirmação dá o valor
, que é maior que . Isso viola a propriedade que exige que probabilidades sejam no máximo , isto é ( ). - Portanto a letra violada é
.
Passo 8
Analisando vi) “A probabilidade de chover hoje no deserto do Saara é
, haja vista que este evento não ocorrerá.”
- A afirmação atribui probabilidade negativa
a um evento (mesmo que o autor pense que o evento é impossível). - Qualquer probabilidade negativa viola a regra de não-negatividade, que exige
(propriedade ). - Além disso, se o autor quisesse dizer que o evento é impossível, o valor correto seria
(ver e ), não um número negativo. - Portanto a propriedade violada é
.
Resposta
i) (c)
ii) (b)
iii) (b)
iv) (a)
v) (d)
vi) (c)
ii) (b)
iii) (b)
iv) (a)
v) (d)
vi) (c)