(5 pontos) Considere os axiomas e propriedades de probabilidade dadas de a) ad) a seguir:
а) P[\emptyset]=0;
b) \sum_{i=1}^{n} P\left[A_{i}\right]=1, para A_{1}, \cdots, A_{n} uma partição do espaço amostral \Omega;
c) P[A] \geq 0; para A, um evento aleatório associado ao espaço amostral;
d) P[A] \leq 1; para A, um evento aleatório associado ao espaço amostral.
Considere as afirmações acerca de probabilidades abaixo. Em cada uma delas um axioma ou propriedade de probabilidade apresentados acima (letras \mathbf{a , b , c , d} ) foi violado. Indique qual dos axiomas ou propriedades dadas acima foi violada indicando entre os parênteses a letra correspondente.
i)( ) A probabilidade de alguém obter nota máxima na prova sem estudar é menor que zero;
ii)( ) A probabilidade de um novo restaurante ser lucrativo é igual a 0,35 , mas a probabilidade de dar prejuízo é o triplo;
iii)( ) As probabilidades para cada um dos 3 candidatos a prefeito de um certo município serem eleitos são, respectivamente: 0, 4 ; 0,5 ; e 0,3 ;
iv)( ) Não é nula a probabilidade da soma dos lados de dois dados lançados ser menor que 2;
v)( ) Ao lançar um dado com certeza veremos um número inferior a dez, desta forma podemos dizer que a probabilidade de tal evento acontecer é 10;
vi)( ) A probabilidade de chover hoje no deserto do Saara é -1 , haja vista que este evento não ocorrerá.

Passo 1

O enunciado dá quatro axiomas/propriedades (vou copiar exatamente como estão) e pede que, para cada uma das afirmações i)–vi), eu indique qual dessas letras foi violada (colocar entre parênteses a letra correspondente).
Axiomas/propriedades fornecidos:
  • a) P[\emptyset]=0.
  • b) \sum_{i=1}^{n} P\left[A_{i}\right]=1, para A_{1}, \ldots, A_{n} uma partição do espaço amostral \Omega.
  • c) P[A] \geq 0; para A um evento.
  • d) P[A] \leq 1; para A um evento.
O que é pedido:
  • Para cada afirmação i) a vi), indicar qual axioma/propriedade (uma das letras \mathbf{a,b,c,d}) foi violada, escrevendo a letra entre parênteses.

Passo 2

Antes de analisar item a item, um lembrete prático sobre como identificar violações (curtinho e direto, estilo amigo que te dá a cola):
  • A regra de não-negatividade diz que nenhuma probabilidade pode ser negativa: para todo evento A, P[A]\ge 0. Essa é a propriedade \mathbf{c}.
  • A regra do máximo diz que nenhuma probabilidade pode ser maior que 1: para todo evento A, P[A]\le 1. Essa é a propriedade \mathbf{d}.
  • Se um conjunto de eventos forma uma partição (são mutuamente exclusivos e cobrem todo o espaço), então as suas probabilidades somam exatamente 1. Essa é a propriedade \mathbf{b}.
  • O evento impossível é o conjunto vazio \emptyset e deve ter probabilidade zero: P[\emptyset]=0. Essa é a propriedade \mathbf{a}.
Vou aplicar essas ideias a cada item, mostrando os cálculos/razões que usamos para decidir qual letra foi violada.

Passo 3

Analisando i) “A probabilidade de alguém obter nota máxima na prova sem estudar é menor que zero.”
  • A afirmação atribui uma probabilidade negativa ao evento “obter nota máxima sem estudar”.
  • Isso entra diretamente em conflito com a regra de não-negatividade.
  • Portanto a propriedade violada é a letra \mathbf{c}, pois \mathbf{c} exige P[A]\ge 0.

Passo 4

Analisando ii) “A probabilidade de um novo restaurante ser lucrativo é igual a 0,35, mas a probabilidade de dar prejuízo é o triplo.”
  • Se a probabilidade de lucrar é 0,35, então a probabilidade de prejuízo, sendo o triplo, é 0,35\times 3 = 1,05.
  • Aqui temos duas observações possíveis: (i) o número 1,05 é maior que 1, violando a regra P[A]\le 1 (propriedade \mathbf{d}); (ii) se os eventos “ser lucrativo” e “dar prejuízo” formam uma partição (isto é, são mutuamente exclusivos e cobrem todas as possibilidades, como frequentemente se assume nesse tipo de enunciado), então suas probabilidades deveriam somar 1 pela propriedade \mathbf{b}; porém 0,35 + 1,05 = 1,40 \neq 1,
logo a soma da partição não é 1, violando \mathbf{b}.
  • Quando há mais de uma violação óbvia, devemos escolher a que melhor corresponde ao contexto dado. Como o enunciado contrasta explicitamente “ser lucrativo” com “dar prejuízo” (parecem ser os dois resultados principais do negócio), o cenário natural é tratá‑los como partição do espaço de resultados. Assim a violação mais direta do enunciado é da propriedade \mathbf{b} (a soma das probabilidades de uma partição deve ser 1, e aqui soma 1,40).
  • Portanto assinalamos a letra \mathbf{b}.

Passo 5

Analisando iii) “As probabilidades para cada um dos 3 candidatos a prefeito … são, respectivamente: 0,4; 0,5; e 0,3.”
  • Se os três candidatos cobrem todas as possibilidades (um deles será eleito), então eles formam uma partição do espaço amostral.
  • Pela propriedade \mathbf{b} a soma das probabilidades dessa partição deve ser 1. Vamos somar:
0,4 + 0,5 + 0,3 = 1,2.
  • Como 1,2 \neq 1, a soma não bate com a exigida por \mathbf{b}.
  • Observação: nenhum dos valores individuais ultrapassa 1 e nenhum é negativo, então \mathbf{c} e \mathbf{d} não são diretamente violadas por cada valor isolado; a violação é claramente da soma da partição.
  • Portanto a letra violada é \mathbf{b}.

Passo 6

Analisando iv) “Não é nula a probabilidade da soma dos lados de dois dados lançados ser menor que 2.”
  • Quando se lançam dois dados comuns (faces 1 a 6), a menor soma possível é 1+1=2. Não existe resultado com soma menor que 2. Portanto o evento "soma menor que 2" é impossível — corresponde ao conjunto vazio \emptyset.
  • Pela propriedade \mathbf{a} temos P[\emptyset]=0. A afirmação diz que a probabilidade não é nula (ou seja, P[\emptyset]\neq 0), contrariando diretamente \mathbf{a}.
  • Logo a propriedade violada é \mathbf{a}.

Passo 7

Analisando v) “Ao lançar um dado com certeza veremos um número inferior a dez, desta forma podemos dizer que a probabilidade de tal evento acontecer é 10.”
  • O evento "ver um número inferior a 10" ao lançar um dado é um evento certo (todas as faces 1,2,\dots,6 são menores que 10), portanto sua probabilidade correta é 1.
  • A afirmação dá o valor 10, que é maior que 1. Isso viola a propriedade que exige que probabilidades sejam no máximo 1, isto é \mathbf{d} ( P[A]\le 1 ).
  • Portanto a letra violada é \mathbf{d}.

Passo 8

Analisando vi) “A probabilidade de chover hoje no deserto do Saara é -1, haja vista que este evento não ocorrerá.”
  • A afirmação atribui probabilidade negativa -1 a um evento (mesmo que o autor pense que o evento é impossível).
  • Qualquer probabilidade negativa viola a regra de não-negatividade, que exige P[A]\ge 0 (propriedade \mathbf{c}).
  • Além disso, se o autor quisesse dizer que o evento é impossível, o valor correto seria 0 (ver \mathbf{a} e \mathbf{c}), não um número negativo.
  • Portanto a propriedade violada é \mathbf{c}.

Resposta

i) (c)
ii) (b)
iii) (b)
iv) (a)
v) (d)
vi) (c)

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