(2 pontos) Dados os vetores \vec{w}=(3,0,4) e \vec{v}=(2,7,11). Calcule \vec{u}= proj _{\vec{w}} \vec{v}. Qual é o ângulo entre os vetores \vec{v}-\vec{u} e \vec{w} ?

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{w}=(3,0,4) e \vec{v}=(2,7,11). Pede duas coisas:
  • Calcular \vec{u}=\operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{v} (a projeção de \vec{v} sobre \vec{w}).
  • Determinar o ângulo entre \vec{v}-\vec{u} e \vec{w}.
As informações relevantes são exatamente os componentes dos vetores \vec{w} e \vec{v} fornecidos acima.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula e o conceito da projeção (aula curta e prática).
  • Produto escalar: para dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) define-se
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Esse produto tem interpretação geométrica: \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles.
  • Projeção de \vec{v} sobre \vec{w}: a fórmula é
\operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}\;\vec{w}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{w} é um número (escalar) e \vec{w}\cdot\vec{w}=\|\vec{w}\|^2. A razão \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}} é o escalar que multiplica \vec{w} para obter a componente de \vec{v} na direção de \vec{w}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{w} usando os componentes (peguei os componentes do enunciado):
\vec{v}\cdot\vec{w}=2\cdot3+7\cdot0+11\cdot4=6+0+44=50.
Calcular \vec{w}\cdot\vec{w} (que é \|\vec{w}\|^2):
\vec{w}\cdot\vec{w}=3^2+0^2+4^2=9+0+16=25.

Passo 4

Aplicar a fórmula da projeção:
\operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}\;\vec{w}=\frac{50}{25}\,\vec{w}=2\,\vec{w}.
Multiplicando o escalar pelos componentes de \vec{w} (novamente usando os valores dados):
\vec{u}=2\,(3,0,4)=(6,0,8).

Passo 5

Agora vamos calcular \vec{v}-\vec{u} explicitamente (para ver a parte “restante”):
\vec{v}-\vec{u}=(2,7,11)-(6,0,8)=(2-6,\,7-0,\,11-8)=(-4,7,3).

Passo 6

Explicar por que o ângulo entre \vec{v}-\vec{u} e \vec{w} é o que é (aula prática).
  • Propriedade importante: a projeção produz a componente de \vec{v} paralela a \vec{w}, e o residual \vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{w}}\vec{v} é ortogonal a \vec{w}. Em álgebra isso se prova observando:
(\vec{v}-\vec{u})\cdot\vec{w}=\vec{v}\cdot\vec{w}-\vec{u}\cdot\vec{w}.
Mas como \vec{u}=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}\vec{w}, tem-se
\vec{u}\cdot\vec{w}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}(\vec{w}\cdot\vec{w})=\vec{v}\cdot\vec{w},
logo (\vec{v}-\vec{u})\cdot\vec{w}=0. Produto escalar zero significa vetores ortogonais.
  • Fazendo a checagem numérica com os vetores encontrados:
(\vec{v}-\vec{u})\cdot\vec{w}=(-4)\cdot3+7\cdot0+3\cdot4=-12+0+12=0,
confirmando que são ortogonais.

Passo 7

Concluir o valor do ângulo: vetores ortogonais têm ângulo de 90^\circ, isto é \dfrac{\pi}{2} radianos. Portanto o ângulo entre \vec{v}-\vec{u} e \vec{w} é 90^\circ (ou \dfrac{\pi}{2} rad).

Resposta

\vec{u}=(6,0,8)
Ângulo: 90^\circ ( \dfrac{\pi}{2} rad)

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