(2 pontos) Dados os vetores
e
. Calcule
proj
. Qual é o ângulo entre os vetores
e
?
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
. Pede duas coisas:
- Calcular
(a projeção de sobre ). - Determinar o ângulo entre
e .
As informações relevantes são exatamente os componentes dos vetores
e
fornecidos acima.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula e o conceito da projeção (aula curta e prática).
- Produto escalar: para dois vetores
e define-se
Esse produto tem interpretação geométrica:
, onde
é o ângulo entre eles.
- Projeção de
sobre : a fórmula é
Aqui
é um número (escalar) e
. A razão
é o escalar que multiplica
para obter a componente de
na direção de
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
usando os componentes (peguei os componentes do enunciado):
Calcular
(que é
):
Passo 4
Aplicar a fórmula da projeção:
Multiplicando o escalar pelos componentes de
(novamente usando os valores dados):
Passo 5
Agora vamos calcular
explicitamente (para ver a parte “restante”):
Passo 6
Explicar por que o ângulo entre
e
é o que é (aula prática).
- Propriedade importante: a projeção produz a componente de
paralela a , e o residual é ortogonal a . Em álgebra isso se prova observando:
Mas como
, tem-se
logo
. Produto escalar zero significa vetores ortogonais.
- Fazendo a checagem numérica com os vetores encontrados:
confirmando que são ortogonais.
Passo 7
Concluir o valor do ângulo: vetores ortogonais têm ângulo de
, isto é
radianos. Portanto o ângulo entre
e
é
(ou
rad).
Resposta
Ângulo: