(2 pontos) Um detector de radiação em um laboratório registra partículas com média histórica de 0,7 partículas por milissegundo (processo de Poisson). Seja X o tempo (em m s ) necessário para que o detector registre 2 partículas. Determine a probabilidade de que sejam necessários mais de 2 m s para que as 2 partículas sejam detectadas (ou seja, calcule P(X>2) ). (Distribuição Erlang)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O detector registra partículas segundo um processo de Poisson com média histórica de 0,7 partículas por milissegundo.
  • Definimos X como o tempo (em ms) necessário para que o detector registre 2 partículas.
    A pergunta é: calcular a probabilidade de que sejam necessários mais de 2\\ \text{ms} para detectar as duas partículas, ou seja, encontrar P(X>2).

Passo 2

Ideia principal (intuição que facilita a prova): o evento " o tempo até a 2ª ocorrência é maior que 2\\ \text{ms} " é equivalente ao evento “no intervalo de comprimento 2\\ \text{ms} ocorreram menos de 2 partículas”. Em notação: se N(t) é o número de eventos em t ms (que é Poisson), então
\{X>2\}=\{N(2)\le 1\}.
Essa equivalência é muito útil porque dá pra usar diretamente a fórmula da distribuição de Poisson.

Passo 3

Relembrando a distribuição de Poisson (aula mini):
  • Se N(t) é Poisson com parâmetro \lambda t, então
P\big(N(t)=k\big)=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t},\qquad k=0,1,2,\dots
Aqui \lambda é a taxa média por unidade de tempo (aqui por ms). No nosso caso \lambda=0,7 (partículas / ms).

Passo 4

Aplicando a equivalência do Passo 2:
P(X>2)=P\big(N(2)\le 1\big)=P\big(N(2)=0\big)+P\big(N(2)=1\big).

Passo 5

Usando a fórmula de Poisson para cada termo:
P\big(N(2)=0\big)=\frac{(\lambda\cdot 2)^0}{0!}e^{-\lambda\cdot 2}=e^{-2\lambda},
P\big(N(2)=1\big)=\frac{(\lambda\cdot 2)^1}{1!}e^{-\lambda\cdot 2}=2\lambda e^{-2\lambda}.
Somando:
P(X>2)=e^{-2\lambda}+2\lambda e^{-2\lambda}=e^{-2\lambda}\big(1+2\lambda\big).
(Observação: essa é a forma geral para Erlang(k=2) ou vista como soma das probabilidades Poisson de 0 e 1 ocorrências.)

Passo 6

Agora substituir o valor numérico de \lambda. Dado \lambda=0,7 e t=2, temos \lambda t=2\lambda=1,4. Portanto a fórmula fica
P(X>2)=e^{-1,4}\big(1+1,4\big)=e^{-1,4}\cdot 2,4.

Passo 7

Avaliação numérica (aproximação):
  • Primeiro e^{-1,4}\approx 0,2465969639 (valor padrão da exponencial).
  • Multiplicando: 0,2465969639\times 2,4\approx 0,5918315134.
    Arredondando razoavelmente, obtemos P(X>2)\approx 0,5918.

Passo 8

Interpretação rápida e dica para prova: cerca de 59{,}2\% das vezes o detector levará mais de 2\\ \text{ms} para ver 2 partículas, dada a taxa média de 0,7 partículas/ms. Alternativamente, na prova pode deixar a resposta na forma exata e^{-1,4}\cdot 2,4 se quiser exatidão.

Resposta

P(X>2)=e^{-1,4}\cdot 2,4\approx 0,5918

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