(2 pontos) Um detector de radiação em um laboratório registra partículas com média histórica de 0,7 partículas por milissegundo (processo de Poisson). Seja
o tempo (em
) necessário para que o detector registre 2 partículas. Determine a probabilidade de que sejam necessários mais de
para que as 2 partículas sejam detectadas (ou seja, calcule
). (Distribuição Erlang)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O detector registra partículas segundo um processo de Poisson com média histórica de
partículas por milissegundo. - Definimos
como o tempo (em ms) necessário para que o detector registre partículas.
A pergunta é: calcular a probabilidade de que sejam necessários mais depara detectar as duas partículas, ou seja, encontrar .
Passo 2
Ideia principal (intuição que facilita a prova): o evento "
o tempo até a 2ª ocorrência é maior que
" é equivalente ao evento “no intervalo de comprimento
ocorreram menos de
partículas”. Em notação: se
é o número de eventos em
ms (que é Poisson), então
Essa equivalência é muito útil porque dá pra usar diretamente a fórmula da distribuição de Poisson.
Passo 3
Relembrando a distribuição de Poisson (aula mini):
- Se
é Poisson com parâmetro , então
Aqui
é a taxa média por unidade de tempo (aqui por ms). No nosso caso
(partículas / ms).
Passo 4
Aplicando a equivalência do Passo 2:
Passo 5
Usando a fórmula de Poisson para cada termo:
Somando:
(Observação: essa é a forma geral para Erlang(k=2) ou vista como soma das probabilidades Poisson de 0 e 1 ocorrências.)
Passo 6
Agora substituir o valor numérico de
. Dado
e
, temos
. Portanto a fórmula fica
Passo 7
Avaliação numérica (aproximação):
- Primeiro
(valor padrão da exponencial). - Multiplicando:
.
Arredondando razoavelmente, obtemos.
Passo 8
Interpretação rápida e dica para prova: cerca de
das vezes o detector levará mais de
para ver 2 partículas, dada a taxa média de
partículas/ms. Alternativamente, na prova pode deixar a resposta na forma exata
se quiser exatidão.