2- (3,6 pontos) Duas partículas idênticas, cada uma possuindo a mesma massa de repouso
, são emitidas na mesma direção e mesmo sentido. Em um referencial
, a primeira partícula possui momento linear relativístico dado por
, enquanto a segunda partícula possui momento linear relativístico
.
a. Qual é a velocidade da partícula 1 em
? A resposta deve estar em função de c.
b. Qual é a velocidade da partícula 2 em
? A resposta deve estar em função de c.
c. Quanto vale a energia total relativística da partícula 1 em
? A resposta deve estar em função de
e
.
d. Quanto vale a energia total relativística da partícula 2 em
? A resposta deve estar em função de
e
.
e. Qual é a velocidade da partícula 2 quando observada a partir do referencial da partícula 1? A resposta deve estar em função de
.
f. Qual é a velocidade da partícula 1 quando observada a partir do referencial da partícula 2 ? A resposta deve estar em função de
.
a. Qual é a velocidade da partícula 1 em
b. Qual é a velocidade da partícula 2 em
c. Quanto vale a energia total relativística da partícula 1 em
d. Quanto vale a energia total relativística da partícula 2 em
e. Qual é a velocidade da partícula 2 quando observada a partir do referencial da partícula 1? A resposta deve estar em função de
f. Qual é a velocidade da partícula 1 quando observada a partir do referencial da partícula 2 ? A resposta deve estar em função de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (todos retirados do enunciado):
- Duas partículas idênticas com massa de repouso
. - Ambas se movem na mesma direção e mesmo sentido no referencial
. - Momento linear relativístico da partícula 1:
. - Momento linear relativístico da partícula 2:
.
- Duas partículas idênticas com massa de repouso
-
O enunciado pede:
a. A velocidade da partícula 1 em(em função de ).
b. A velocidade da partícula 2 em(em função de ).
c. A energia total relativística da partícula 1 em(em função de e ).
d. A energia total relativística da partícula 2 em(em função de e ).
e. A velocidade da partícula 2 vista do referencial da partícula 1 (em função de).
f. A velocidade da partícula 1 vista do referencial da partícula 2 (em função de).
Passo 2
Relembre (aula rápida e sem pânico) as fórmulas que vamos usar e o significado de cada coisa.
- Definição do fator de Lorentz:
Aqui
é a velocidade da partícula no referencial considerado e
é a velocidade da luz.
é adimensional.
- Momento linear relativístico:
Significado: momento
depende do fator
quando
é relativístico. Todas as variáveis que aparecem foram definidas acima.
- Energia total relativística:
- Relação útil entre energia e momento (às vezes mais prática):
Isso evita calcular
explicitamente se já tiver
.
- Transformação de velocidades (adição relativística) — fórmula que relaciona a velocidade
de um objeto em com a velocidade observada em , que se move com velocidade relativa a :
Neste problema usaremos essa fórmula com
e
para obter a velocidade de 2 no referencial da 1, por exemplo. É importante: não se subtrai velocidades na relatividade como na mecânica clássica — usa-se essa fórmula.
Passo 3
Calcular a velocidade da partícula 1 em
(parte a).
Partimos da fórmula do momento:
Dividindo por
dá (colocando tudo em termos de
):
Pelo enunciado
. Logo
Substituindo
:
Elevar ao quadrado:
Resolva para
:
Portanto
Como
, obtemos
Passo 4
Calcular a velocidade da partícula 2 em
(parte b).
Mesma ideia:
, e
Logo
Elevar ao quadrado:
Portanto
e
Passo 5
Calcular os fatores
que usaremos para as energias (ajuda para as partes c e d).
- Para a partícula 1:
então
- Para a partícula 2:
então
Isso fica bonito e simples:
e
.
Passo 6
Calcular a energia total relativística da partícula 1 em
(parte c).
Usando
e
,
Observação: podia-se também usar
— com
isso daria
, mesmo resultado.
Passo 7
Calcular a energia total relativística da partícula 2 em
(parte d).
Usando
e
,
Verificação alternativa: com
,
.
Passo 8
Calcular a velocidade da partícula 2 no referencial da partícula 1 (parte e). Explicando o raciocínio passo a passo.
- Fórmula da adição relativística de velocidades (já citada):
Aqui queremos a velocidade de 2 no referencial da 1, então tomar
(velocidade de 2 em
) e
(velocidade do referencial da partícula 1 em
). Assim
- Substituindo os valores em termos de
:
Já temos
e
.
- Podemos calcular numericamente (mantendo tudo em fatores de
). Calculando aproximado:
Portanto
(O resultado é um número menor do que a diferença clássica
por causa do denominador relativístico.)
Passo 9
Calcular a velocidade da partícula 1 no referencial da partícula 2 (parte f).
Usando a mesma fórmula com papéis trocados:
Note que isto é exatamente o negativo de
:
porque
. Portanto, numericamente,
O sinal negativo indica que, no referencial da partícula 2, a partícula 1 se move na direção oposta (isso é esperado: cada uma vê a outra vindo na direção contrária).
Resposta
a.
\n
b. \n
c. \n
d. \n
e. \n
f.
b.
c.
d.
e.
f.