2- (3,6 pontos) Duas partículas idênticas, cada uma possuindo a mesma massa de repouso m_{0}, são emitidas na mesma direção e mesmo sentido. Em um referencial S, a primeira partícula possui momento linear relativístico dado por p_{1}=2 m_{0} c, enquanto a segunda partícula possui momento linear relativístico p_{2}=3 m_{0} c.
a. Qual é a velocidade da partícula 1 em S ? A resposta deve estar em função de c.
b. Qual é a velocidade da partícula 2 em S ? A resposta deve estar em função de c.
c. Quanto vale a energia total relativística da partícula 1 em S ? A resposta deve estar em função de m_{0} e c.
d. Quanto vale a energia total relativística da partícula 2 em S ? A resposta deve estar em função de m_{0} e c.
e. Qual é a velocidade da partícula 2 quando observada a partir do referencial da partícula 1? A resposta deve estar em função de c.
f. Qual é a velocidade da partícula 1 quando observada a partir do referencial da partícula 2 ? A resposta deve estar em função de c.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (todos retirados do enunciado):
    • Duas partículas idênticas com massa de repouso \,m_{0}.
    • Ambas se movem na mesma direção e mesmo sentido no referencial S.
    • Momento linear relativístico da partícula 1: \,p_{1}=2\,m_{0}c.
    • Momento linear relativístico da partícula 2: \,p_{2}=3\,m_{0}c.
  • O enunciado pede:
    a. A velocidade da partícula 1 em S (em função de c).
    b. A velocidade da partícula 2 em S (em função de c).
    c. A energia total relativística da partícula 1 em S (em função de m_{0} e c).
    d. A energia total relativística da partícula 2 em S (em função de m_{0} e c).
    e. A velocidade da partícula 2 vista do referencial da partícula 1 (em função de c).
    f. A velocidade da partícula 1 vista do referencial da partícula 2 (em função de c).

Passo 2

Relembre (aula rápida e sem pânico) as fórmulas que vamos usar e o significado de cada coisa.
  • Definição do fator de Lorentz:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}},\quad\text{onde}\\ \beta=\frac{v}{c}.
Aqui \,v é a velocidade da partícula no referencial considerado e \,c é a velocidade da luz. \gamma é adimensional.
  • Momento linear relativístico:
p=\gamma\,m_{0}\,v.
Significado: momento p depende do fator \gamma quando v é relativístico. Todas as variáveis que aparecem foram definidas acima.
  • Energia total relativística:
E=\gamma\,m_{0}\,c^{2}.
  • Relação útil entre energia e momento (às vezes mais prática):
E^{2}=(p c)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}.
Isso evita calcular \gamma explicitamente se já tiver p.
  • Transformação de velocidades (adição relativística) — fórmula que relaciona a velocidade u de um objeto em S com a velocidade u' observada em S', que se move com velocidade v relativa a S:
u'=\frac{u-v}{1-\dfrac{u v}{c^{2}}}.
Neste problema usaremos essa fórmula com u=v_{2} e v=v_{1} para obter a velocidade de 2 no referencial da 1, por exemplo. É importante: não se subtrai velocidades na relatividade como na mecânica clássica — usa-se essa fórmula.

Passo 3

Calcular a velocidade da partícula 1 em S (parte a).
Partimos da fórmula do momento:
p_{1}=\gamma_{1}\,m_{0}\,v_{1}.
Dividindo por m_{0}c dá (colocando tudo em termos de \beta_{1}=v_{1}/c):
\frac{p_{1}}{m_{0}c}=\gamma_{1}\,\beta_{1}.
Pelo enunciado \dfrac{p_{1}}{m_{0}c}=2. Logo
\gamma_{1}\,\beta_{1}=2.
Substituindo \gamma_{1}=1/\sqrt{1-\beta_{1}^{2}}:
\frac{\beta_{1}}{\sqrt{1-\beta_{1}^{2}}}=2.
Elevar ao quadrado:
\frac{\beta_{1}^{2}}{1-\beta_{1}^{2}}=4.
Resolva para \beta_{1}^{2}:
\beta_{1}^{2}=4(1-\beta_{1}^{2})=4-4\beta_{1}^{2}\quad\Rightarrow\quad 5\beta_{1}^{2}=4.
Portanto
\beta_{1}^{2}=\frac{4}{5}\quad\Rightarrow\quad \beta_{1}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Como \beta_{1}=v_{1}/c, obtemos
v_{1}=\frac{2}{\sqrt{5}}\,c.

Passo 4

Calcular a velocidade da partícula 2 em S (parte b).
Mesma ideia: \dfrac{p_{2}}{m_{0}c}=3, e
\gamma_{2}\,\beta_{2}=3,\qquad \text{com }\gamma_{2}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_{2}^{2}}}.
Logo
\frac{\beta_{2}}{\sqrt{1-\beta_{2}^{2}}}=3.
Elevar ao quadrado:
\frac{\beta_{2}^{2}}{1-\beta_{2}^{2}}=9\quad\Rightarrow\quad \beta_{2}^{2}=9(1-\beta_{2}^{2})=9-9\beta_{2}^{2}
\Rightarrow\\\ 10\beta_{2}^{2}=9\quad\Rightarrow\quad \beta_{2}^{2}=\frac{9}{10}.
Portanto
\beta_{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}},
e
v_{2}=\frac{3}{\sqrt{10}}\,c.

Passo 5

Calcular os fatores \gamma que usaremos para as energias (ajuda para as partes c e d).
  • Para a partícula 1: \beta_{1}^{2}=4/5 então
\gamma_{1}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_{1}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-4/5}}=\frac{1}{\sqrt{1/5}}=\sqrt{5}.
  • Para a partícula 2: \beta_{2}^{2}=9/10 então
\gamma_{2}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_{2}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-9/10}}=\frac{1}{\sqrt{1/10}}=\sqrt{10}.
Isso fica bonito e simples: \gamma_{1}=\sqrt{5} e \gamma_{2}=\sqrt{10}.

Passo 6

Calcular a energia total relativística da partícula 1 em S (parte c).
Usando \,E_{1}=\gamma_{1}\,m_{0}\,c^{2} e \gamma_{1}=\sqrt{5},
E_{1}=\sqrt{5}\,m_{0}\,c^{2}.
Observação: podia-se também usar \,E^{2}=(p c)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2} — com p_{1}c=2m_{0}c^{2} isso daria E_{1}=m_{0}c^{2}\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\,m_{0}c^{2}, mesmo resultado.

Passo 7

Calcular a energia total relativística da partícula 2 em S (parte d).
Usando \,E_{2}=\gamma_{2}\,m_{0}\,c^{2} e \gamma_{2}=\sqrt{10},
E_{2}=\sqrt{10}\,m_{0}\,c^{2}.
Verificação alternativa: com p_{2}c=3m_{0}c^{2}, \,E_{2}=m_{0}c^{2}\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\,m_{0}c^{2}.

Passo 8

Calcular a velocidade da partícula 2 no referencial da partícula 1 (parte e). Explicando o raciocínio passo a passo.
  • Fórmula da adição relativística de velocidades (já citada):
u'=\frac{u-v}{1-\dfrac{u v}{c^{2}}}.
Aqui queremos a velocidade de 2 no referencial da 1, então tomar u=v_{2} (velocidade de 2 em S) e v=v_{1} (velocidade do referencial da partícula 1 em S). Assim
v_{2\text{ em }1}=\frac{v_{2}-v_{1}}{1-\dfrac{v_{1}v_{2}}{c^{2}}}.
  • Substituindo os valores em termos de \beta:
\frac{v_{2\text{ em }1}}{c}=\frac{\beta_{2}-\beta_{1}}{1-\beta_{1}\beta_{2}}.
Já temos \beta_{1}=\dfrac{2}{\sqrt{5}} e \beta_{2}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}.
  • Podemos calcular numericamente (mantendo tudo em fatores de c). Calculando aproximado:
\beta_{1}\approx0{,}894427,\qquad \beta_{2}\approx0{,}948683,
\beta_{2}-\beta_{1}\approx0{,}0542561,\qquad 1-\beta_{1}\beta_{2}\approx0{,}1514719,
\frac{v_{2\text{ em }1}}{c}\approx\frac{0{,}0542561}{0{,}1514719}\approx0{,}358568.
Portanto
v_{2\text{ em }1}\approx0{,}358568\,c.
(O resultado é um número menor do que a diferença clássica v_{2}-v_{1} por causa do denominador relativístico.)

Passo 9

Calcular a velocidade da partícula 1 no referencial da partícula 2 (parte f).
Usando a mesma fórmula com papéis trocados:
v_{1\text{ em }2}=\frac{v_{1}-v_{2}}{1-\dfrac{v_{1}v_{2}}{c^{2}}}.
Note que isto é exatamente o negativo de v_{2\text{ em }1}:
v_{1\text{ em }2}=-\,v_{2\text{ em }1},
porque \dfrac{v_{1}-v_{2}}{1-\dfrac{v_{1}v_{2}}{c^{2}}}=-\dfrac{v_{2}-v_{1}}{1-\dfrac{v_{1}v_{2}}{c^{2}}}. Portanto, numericamente,
v_{1\text{ em }2}\approx-0{,}358568\,c.
O sinal negativo indica que, no referencial da partícula 2, a partícula 1 se move na direção oposta (isso é esperado: cada uma vê a outra vindo na direção contrária).

Resposta

a. \;v_{1}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\,c\n
b. \;v_{2}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\,c\n
c. \;E_{1}=\sqrt{5}\,m_{0}c^{2}\n
d. \;E_{2}=\sqrt{10}\,m_{0}c^{2}\n
e. \;v_{2\text{ em }1}\approx0{,}358568\,c\n
f. \;v_{1\text{ em }2}\approx-0{,}358568\,c

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