(2 pontos) Em uma empresa do setor de engenharia elétrica, responsável pela manutenção de painéis industriais de alta tensão, o setor de segurança do trabalho deseja estimar a altura média dos funcionários, pois essa informação será utilizada no ajuste ergonômico das bancadas de teste e na definição da altura ideal de instalação de alguns equipamentos. Sabe-se que a empresa possui 180 funcionários, sendo 144 homens e 36 mulheres. Como existe a suspeita de que a altura média dos homens seja diferente da altura média das mulheres, decidiu-se utilizar a amostragem aleatória estratificada proporcional (AAE) para selecionar uma amostra de 20 funcionários. Determine quantos homens e quantas mulheres devem compor essa amostra.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • População total: N=180 funcionários.
  • Número de homens na população: N_H=144.
  • Número de mulheres na população: N_M=36.
  • Tamanho da amostra desejada: n=20.
  • O enunciado pede: determinar quantos homens e quantas mulheres devem compor a amostra quando se usa amostragem aleatória estratificada proporcional.

Passo 2

O que significa “amostragem aleatória estratificada proporcional” e por que usamos isso aqui?
  • Ideia: dividir a população em estratos (aqui: homens e mulheres) e sortear amostras em cada estrato de modo que a fração de cada estrato na amostra seja igual à fração desse estrato na população.
  • Vantagem: garante que a amostra represente corretamente a composição da população por estrato; reduz variabilidade quando os estratos são homogêneos internamente.
  • Proporcional significa que a alocação é feita em proporção ao tamanho de cada estrato.

Passo 3

Fórmula que usamos (alocação proporcional):
n_h = n \cdot \frac{N_h}{N}
onde:
  • n_h é o tamanho da amostra no estrato h,
  • n é o tamanho total da amostra ( n=20),
  • N_h é o número de indivíduos no estrato h na população,
  • N é o tamanho total da população ( N=180).
Explicando cada termo em palavras: multiplica-se o tamanho total da amostra pela proporção que o estrato representa na população.

Passo 4

Calcular quantos homens devem entrar na amostra. Substituindo na fórmula para o estrato “homens” ( N_H=144):
n_H = n \cdot \frac{N_H}{N} = 20 \cdot \frac{144}{180}.
Agora simplificando a fração \dfrac{144}{180}. Podemos dividir numerador e denominador por 36:
\frac{144}{180} = \frac{144\div36}{180\div36} = \frac{4}{5} = 0{,}8.
Portanto
n_H = 20 \cdot 0{,}8 = 16.

Passo 5

Calcular quantas mulheres devem entrar na amostra. Podemos usar a fórmula diretamente para o estrato “mulheres” ( N_M=36) ou subtrair do total. Primeiro usando a fórmula:
n_M = n \cdot \frac{N_M}{N} = 20 \cdot \frac{36}{180}.
Simplificando \dfrac{36}{180} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2. Logo
n_M = 20 \cdot 0{,}2 = 4.
Como checagem rápida, n_H + n_M = 16 + 4 = 20 = n, ou seja, bate com o tamanho total da amostra.

Passo 6

Observação prática sobre arredondamento (útil para a prova):
  • Se os valores calculados para n_H ou n_M não fossem inteiros, deve-se arredondar de modo que a soma dos tamanhos estratificados seja igual a n. Métodos comuns:
    • arredondar os resultados e ajustar o estrato com maior resto (método do maior resto), ou
    • arredondar normalmente e depois corrigir adicionando/subtraindo 1 em estratos até que as somas coincidam.
  • No caso deste exercício os resultados foram inteiros ( 16 e 4), então não há necessidade de ajuste.

Passo 7

Interpretação final e dica de prova: calcule primeiro as proporções \dfrac{N_h}{N} (ou a simplificação), depois multiplique por n. Isso evita erros com grandes números e facilita arredondamentos quando necessário. Respira, faz calmamente as simplificações por fatores comuns (aqui por 36) e pronto — resultado rápido.

Resposta

Homens: 16
Mulheres: 4

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