(2 pontos) Em uma empresa do setor de engenharia elétrica, responsável pela manutenção de painéis industriais de alta tensão, o setor de segurança do trabalho deseja estimar a altura média dos funcionários, pois essa informação será utilizada no ajuste ergonômico das bancadas de teste e na definição da altura ideal de instalação de alguns equipamentos. Sabe-se que a empresa possui 180 funcionários, sendo 144 homens e 36 mulheres. Como existe a suspeita de que a altura média dos homens seja diferente da altura média das mulheres, decidiu-se utilizar a amostragem aleatória estratificada proporcional (AAE) para selecionar uma amostra de 20 funcionários. Determine quantos homens e quantas mulheres devem compor essa amostra.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- População total:
funcionários. - Número de homens na população:
. - Número de mulheres na população:
. - Tamanho da amostra desejada:
. - O enunciado pede: determinar quantos homens e quantas mulheres devem compor a amostra quando se usa amostragem aleatória estratificada proporcional.
Passo 2
O que significa “amostragem aleatória estratificada proporcional” e por que usamos isso aqui?
- Ideia: dividir a população em estratos (aqui: homens e mulheres) e sortear amostras em cada estrato de modo que a fração de cada estrato na amostra seja igual à fração desse estrato na população.
- Vantagem: garante que a amostra represente corretamente a composição da população por estrato; reduz variabilidade quando os estratos são homogêneos internamente.
- Proporcional significa que a alocação é feita em proporção ao tamanho de cada estrato.
Passo 3
Fórmula que usamos (alocação proporcional):
onde:
-
é o tamanho da amostra no estrato , -
é o tamanho total da amostra ( ), -
é o número de indivíduos no estrato na população, -
é o tamanho total da população ( ).
Explicando cada termo em palavras: multiplica-se o tamanho total da amostra pela proporção que o estrato representa na população.
Passo 4
Calcular quantos homens devem entrar na amostra. Substituindo na fórmula para o estrato “homens” (
):
Agora simplificando a fração
. Podemos dividir numerador e denominador por
:
Portanto
Passo 5
Calcular quantas mulheres devem entrar na amostra. Podemos usar a fórmula diretamente para o estrato “mulheres” (
) ou subtrair do total. Primeiro usando a fórmula:
Simplificando
. Logo
Como checagem rápida,
, ou seja, bate com o tamanho total da amostra.
Passo 6
Observação prática sobre arredondamento (útil para a prova):
- Se os valores calculados para
ou não fossem inteiros, deve-se arredondar de modo que a soma dos tamanhos estratificados seja igual a . Métodos comuns: - arredondar os resultados e ajustar o estrato com maior resto (método do maior resto), ou
- arredondar normalmente e depois corrigir adicionando/subtraindo 1 em estratos até que as somas coincidam.
- No caso deste exercício os resultados foram inteiros (
e ), então não há necessidade de ajuste.
Passo 7
Interpretação final e dica de prova: calcule primeiro as proporções
(ou a simplificação), depois multiplique por
. Isso evita erros com grandes números e facilita arredondamentos quando necessário. Respira, faz calmamente as simplificações por fatores comuns (aqui por
) e pronto — resultado rápido.
Resposta
Homens:
Mulheres:
Mulheres: