(2,0 pontos)
(a) Escreva a definiçāo de integral de linha para uma função escalar
ao longo de uma curva lisa
em relaçāo ao comprimento de arco.
(b) Como calcular essa integral?
(c) Escreva a definição das integrais de linha ao longo de uma curva lisa
de uma função escalar
com relaçāo a
e
.
(d) Como calcular essas integrais de linha?
(a) Escreva a definiçāo de integral de linha para uma função escalar
(b) Como calcular essa integral?
(c) Escreva a definição das integrais de linha ao longo de uma curva lisa
(d) Como calcular essas integrais de linha?
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas bem claras:
- (a) Escrever a definição de integral de linha para uma função escalar
ao longo de uma curva lisa em relação ao comprimento de arco. - (b) Dizer como calcular essa integral (procedimento prático passo a passo).
- (c) Escrever a definição das integrais de linha ao longo de
de uma função escalar “com relação a” , e (isto é, integrais do tipo , , ). - (d) Explicar como calcular essas integrais (procedimento prático e observações sobre orientação e sinais).
Não há outros dados numéricos no enunciado; a tarefa é apresentar definições e métodos de cálculo, com exemplos e explicações passo a passo.
Passo 2
Primeiro precisamos entender o que significa “curva lisa” e o elemento de comprimento de arco.
- Uma curva
é dita lisa (ou regular) quando existe uma parametrização com ou tal que é diferenciável, é contínua e para todo . Em coordenadas, em 2D ou em 3D. - O comprimento de arco diferencial é a quantidade infinitesimal
. Quando a curva é parametrizada por , tem-se
Aqui
é a norma do vetor derivada; em 2D
e em 3D
Explicando com calma:
mede um pequeno pedaço do comprimento da curva; para um pequeno incremento
a distância ao longo da curva é aproximadamente
.
Passo 3
Agora a definição rigorosa da integral de linha de uma função escalar
em relação ao comprimento de arco.
- Definição por soma de Riemann (intuição formal): divida a curva
em pequenos arcos de comprimento , escolha um ponto em cada arco e forme a soma
Se o limite dessa soma, quando o máximo dos
tende a zero, existe, chamamos esse limite de integral de linha de
sobre
em relação ao comprimento de arco.
- Definição prática via parametrização (forma usada para calcular): se
é uma parametrização de em , então
Isto é, substitui-se o ponto
ou
por
ou
, multiplica-se pelo comprimento
e integra-se em
.
Passo 4
Como calcular, passo a passo,
— método prático que você aplicaria na prova.
- Parametrize a curva
: escolha ou para . Explique pro professor: a parametrização deve cobrir exatamente uma vez, a menos que combinado de outro modo. - Calcule as derivadas
. - Calcule
usando as fórmulas do Passo 2. - Forme a integral
e avalie-a como uma integral usual de uma variável.
5. Se for possível, simplifique antes de integrar (fator comum, substituição, etc.). Lembre-se: não há sinal ambíguo — .
5. Se for possível, simplifique antes de integrar (fator comum, substituição, etc.). Lembre-se: não há sinal ambíguo —
Exemplo concreto e simples (para fixar a ideia):
- Seja
o segmento de reta de a e . - Parametrização natural:
, . - Derivada:
, . - Valor da função na curva:
. - Integral:
Passo a passo para que você consiga reproduzir isso na prova sem errar.
Passo 5
Agora as integrais de linha "com relação a
" — definição e sentido.
- Para funções escalares
definidas em , as integrais
são definidas por somas do tipo
(ou
) e, via parametrização, têm a forma prática:
Observe que aqui aparecem
sem norma: por isso essas integrais dependem da orientação da parametrização (trocar a direção de
muda o sinal).
- Relação com
: pode-se ver também que
e por isso
é, numa notação formal, uma combinação de
através da raiz quadrada, mas as integrais
são integrais direcionais dependentes da orientação.
Passo 6
Como calcular
,
,
— procedimento prático e observações.
- Parametrize
: ou , . - Calcule
. - Substitua na fórmula correspondente, por exemplo:
- Resolva a integral de uma variável como de costume.
Observações importantes para a prova:
- Orientação importa: se reparametrizar com sentido contrário (por exemplo usar
invertendo o intervalo), então muda de sinal e a integral muda de sinal. - Essas integrais aparecem frequentemente quando se trabalha com integrais de linha de campos vetoriais ou ao aplicar integração por partes ao longo de curvas; reconhecer a fórmula direta ajuda a evitar erros.
- Exemplo rápido (mesmo segmento e função do exemplo anterior):
de a , , , . Então
Note o sinal: se o segmento fosse percorrido de
para
, o resultado seria
.
Passo 7
Resumo prático/roteiro para a prova — o que escrever rapidamente quando cair uma questão dessas:
-
Para
: - Escreva uma parametrização
, . - Calcule
e . - Calcule
. - Avalie
.
- Escreva uma parametrização
-
Para
, , : - Parametrize
. - Calcule as derivadas
. - Avalie
(ou com , conforme o caso). - Preste atenção na orientação: se a direção for invertida, o sinal troca.
- Parametrize
Vai dar certo — segue o resumo final pronto para consulta rápida.
Resposta
(a) A integral de linha de uma função escalar
ao longo de uma curva lisa
em relação ao comprimento de arco é definida por
e, usando uma parametrização
,
,
(b) Para calcular
: parametrize
por
, calcule
e sua norma
, substitua
e avalie a integral
(c) As integrais de linha de uma função escalar
“com relação a”
são, via parametrização
,
(d) Para calcular
,
,
: parametrize
, calcule
, substitua
e avalie a integral apropriada (por exemplo
). Atenção: essas integrais dependem da orientação da parametrização (inverter o sentido muda o sinal).