(2,0 pontos)
(a) Escreva a definiçāo de integral de linha para uma função escalar f ao longo de uma curva lisa C em relaçāo ao comprimento de arco.
(b) Como calcular essa integral?
(c) Escreva a definição das integrais de linha ao longo de uma curva lisa C de uma função escalar f com relaçāo a x, y e z.
(d) Como calcular essas integrais de linha?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas bem claras:
  • (a) Escrever a definição de integral de linha para uma função escalar f ao longo de uma curva lisa C em relação ao comprimento de arco.
  • (b) Dizer como calcular essa integral (procedimento prático passo a passo).
  • (c) Escrever a definição das integrais de linha ao longo de C de uma função escalar f “com relação a” x, y e z (isto é, integrais do tipo \int_C f\,dx, \int_C f\,dy, \int_C f\,dz).
  • (d) Explicar como calcular essas integrais (procedimento prático e observações sobre orientação e sinais).
Não há outros dados numéricos no enunciado; a tarefa é apresentar definições e métodos de cálculo, com exemplos e explicações passo a passo.

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que significa “curva lisa” e o elemento de comprimento de arco.
  • Uma curva C é dita lisa (ou regular) quando existe uma parametrização \mathbf{r}(t) com \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3 tal que \mathbf{r} é diferenciável, \mathbf{r}'(t) é contínua e \mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0} para todo t\in[a,b]. Em coordenadas, \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) em 2D ou \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) em 3D.
  • O comprimento de arco diferencial é a quantidade infinitesimal ds. Quando a curva é parametrizada por t, tem-se
ds=\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
Aqui \|\mathbf{r}'(t)\| é a norma do vetor derivada; em 2D
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}},
e em 3D
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}.
Explicando com calma: ds mede um pequeno pedaço do comprimento da curva; para um pequeno incremento \Delta t a distância ao longo da curva é aproximadamente \|\mathbf{r}'(t)\|\Delta t.

Passo 3

Agora a definição rigorosa da integral de linha de uma função escalar f em relação ao comprimento de arco.
  • Definição por soma de Riemann (intuição formal): divida a curva C em pequenos arcos C_i de comprimento \Delta s_i, escolha um ponto P_i^* em cada arco e forme a soma
\sum_{i} f(P_i^*)\,\Delta s_i.
Se o limite dessa soma, quando o máximo dos \Delta s_i tende a zero, existe, chamamos esse limite de integral de linha de f sobre C em relação ao comprimento de arco.
  • Definição prática via parametrização (forma usada para calcular): se \mathbf{r}(t) é uma parametrização de C em t\in[a,b], então
\int_{C} f\,ds = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
Isto é, substitui-se o ponto (x,y) ou (x,y,z) por (x(t),y(t)) ou (x(t),y(t),z(t)), multiplica-se pelo comprimento \|\mathbf{r}'(t)\| e integra-se em t.

Passo 4

Como calcular, passo a passo, \int_C f\,ds — método prático que você aplicaria na prova.
  1. Parametrize a curva C: escolha \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) ou \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) para t\in[a,b]. Explique pro professor: a parametrização deve cobrir C exatamente uma vez, a menos que combinado de outro modo.
  2. Calcule as derivadas x'(t),y'(t),z'(t).
  3. Calcule \|\mathbf{r}'(t)\| usando as fórmulas do Passo 2.
  4. Forme a integral
\int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt
e avalie-a como uma integral usual de uma variável.
5. Se for possível, simplifique antes de integrar (fator comum, substituição, etc.). Lembre-se: não há sinal ambíguo — \|\mathbf{r}'(t)\|\ge 0.
Exemplo concreto e simples (para fixar a ideia):
  • Seja C o segmento de reta de (0,0) a (1,1) e f(x,y)=x+y.
  • Parametrização natural: \mathbf{r}(t)=(t,t), t\in[0,1].
  • Derivada: \mathbf{r}'(t)=(1,1), \|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • Valor da função na curva: f(\mathbf{r}(t))=t+t=2t.
  • Integral:
\int_{C} f\,ds = \int_{0}^{1} 2t\cdot\sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\int_{0}^{1} 2t\,dt = \sqrt{2}\left[t^{2}\right]_{0}^{1}=\sqrt{2}.
Passo a passo para que você consiga reproduzir isso na prova sem errar.

Passo 5

Agora as integrais de linha "com relação a x,y,z" — definição e sentido.
  • Para funções escalares f definidas em C, as integrais
\int_{C} f\,dx,\qquad \int_{C} f\,dy,\qquad \int_{C} f\,dz
são definidas por somas do tipo \sum f(P_i^*)\,\Delta x_i (ou \Delta y_i,\Delta z_i) e, via parametrização, têm a forma prática:
\int_{C} f\,dx = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,x'(t)\,dt,
\int_{C} f\,dy = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,y'(t)\,dt,
\int_{C} f\,dz = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,z'(t)\,dt.
Observe que aqui aparecem x'(t),y'(t),z'(t) sem norma: por isso essas integrais dependem da orientação da parametrização (trocar a direção de t muda o sinal).
  • Relação com ds: pode-se ver também que
ds=\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}},
e por isso \int_C f\,ds é, numa notação formal, uma combinação de dx,dy,dz através da raiz quadrada, mas as integrais \int_C f\,dx são integrais direcionais dependentes da orientação.

Passo 6

Como calcular \int_C f\,dx, \int_C f\,dy, \int_C f\,dz — procedimento prático e observações.
  1. Parametrize C: \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) ou (x(t),y(t),z(t)), t\in[a,b].
  2. Calcule x'(t),y'(t),z'(t).
  3. Substitua na fórmula correspondente, por exemplo:
\int_{C} f\,dx = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,x'(t)\,dt.
  1. Resolva a integral de uma variável como de costume.
Observações importantes para a prova:
  • Orientação importa: se reparametrizar com sentido contrário (por exemplo usar \tilde t=b+t-a invertendo o intervalo), então x'(t) muda de sinal e a integral muda de sinal.
  • Essas integrais aparecem frequentemente quando se trabalha com integrais de linha de campos vetoriais ou ao aplicar integração por partes ao longo de curvas; reconhecer a fórmula direta ajuda a evitar erros.
  • Exemplo rápido (mesmo segmento e função do exemplo anterior): C de (0,0) a (1,1), f(x,y)=x, \mathbf{r}(t)=(t,t), t\in[0,1]. Então
\int_{C} f\,dx = \int_{0}^{1} f(\mathbf{r}(t))\,x'(t)\,dt = \int_{0}^{1} t\cdot 1\,dt = \frac{1}{2}.
Note o sinal: se o segmento fosse percorrido de (1,1) para (0,0), o resultado seria -\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Resumo prático/roteiro para a prova — o que escrever rapidamente quando cair uma questão dessas:
  • Para \int_{C} f\,ds:
    1. Escreva uma parametrização \mathbf{r}(t), t\in[a,b].
    2. Calcule \mathbf{r}'(t) e \|\mathbf{r}'(t)\|.
    3. Calcule f(\mathbf{r}(t)).
    4. Avalie \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
  • Para \int_{C} f\,dx, \int_{C} f\,dy, \int_{C} f\,dz:
    1. Parametrize \mathbf{r}(t).
    2. Calcule as derivadas x'(t),y'(t),z'(t).
    3. Avalie \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,x'(t)\,dt (ou com y', z' conforme o caso).
    4. Preste atenção na orientação: se a direção for invertida, o sinal troca.
Vai dar certo — segue o resumo final pronto para consulta rápida.

Resposta

(a) A integral de linha de uma função escalar f ao longo de uma curva lisa C em relação ao comprimento de arco é definida por
\int_{C} f\,ds = \lim_{\max\Delta s_i\to0}\sum_{i} f(P_i^*)\,\Delta s_i,
e, usando uma parametrização \mathbf{r}(t), t\in[a,b],
\int_{C} f\,ds = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
(b) Para calcular \int_C f\,ds: parametrize C por \mathbf{r}(t), calcule \mathbf{r}'(t) e sua norma \|\mathbf{r}'(t)\|, substitua f(\mathbf{r}(t)) e avalie a integral
\int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
(c) As integrais de linha de uma função escalar f “com relação a” x,y,z são, via parametrização \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),
\int_{C} f\,dx = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,x'(t)\,dt,\qquad \int_{C} f\,dy = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,y'(t)\,dt,
\int_{C} f\,dz = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,z'(t)\,dt.
(d) Para calcular \int_C f\,dx, \int_C f\,dy, \int_C f\,dz: parametrize C, calcule x'(t),y'(t),z'(t), substitua f(\mathbf{r}(t)) e avalie a integral apropriada (por exemplo \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))x'(t)\,dt). Atenção: essas integrais dependem da orientação da parametrização (inverter o sentido muda o sinal).

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