(3,4 pontos )(3,4 pontos ) Uma estação de pesquisa oceânica foi construída a uma profundidade de 50,0 metros. Na sua parte superior há uma janela (escotilha) de dimensões 5,22 \mathrm{~m} e 3,11 \mathrm{~m}. A pressão interna é a atmosférica. Isso significa que a força necessária para abrir a escotilha depende exclusivamente da pressão manométrica. Considere que a densidade da água vale \rho=1,00.10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a gravidade \mathrm{g}=9,791 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine a mínima força necessária para abrir a janela.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a mínima força necessária para abrir a escotilha (janela) desde o interior, sabendo que a pressão interna é a atmosférica.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
  • Profundidade da escotilha: h=50,0\\ \mathrm{m}.
  • Dimensões da janela: L=5,22\\ \mathrm{m} e W=3,11\\ \mathrm{m}.
  • Densidade da água: \rho=1,00\cdot10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Aceleração da gravidade: g=9,791\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Pressão interna: pressão atmosférica (mesma pressão de referência dentro), então a força extra necessária vem da pressão manométrica exercida pela água.

Passo 2

Conceito físico e fórmula a usar (explicação didática):
  • Em um fluido em repouso, a pressão aumenta com a profundidade porque existe o peso do fluido acima. Para um ponto a uma profundidade h abaixo da superfície livre, a pressão absoluta é
p = p_{0} + \rho g h,
onde:
  • p é a pressão absoluta no ponto (em \mathrm{Pa}),
  • p_{0} é a pressão na superfície (pressão atmosférica),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}}),
  • h é a profundidade ( \mathrm{m}).
Breve derivação/intuição (sem cálculo pesado): subindo ou descendo um pequeno trecho dh dentro do líquido, a variação de pressão é dp=\rho g\,dh. Integrando de 0 a h dá a fórmula acima.

Passo 3

Por que usamos apenas a parte manométrica \rho g h:
  • Como a pressão interna é igual à pressão atmosférica p_{0}, as pressões atmosféricas se cancelam quando consideramos a força líquida que a água exerce sobre a janela. Logo, a pressão efetiva que empurra a janela (pressão manométrica) é
\Delta p = p-p_{0} = \rho g h.
  • Para uma superfície horizontal localizada a profundidade h (como a parte superior da estação com a janela), essa pressão \Delta p é praticamente uniforme sobre toda a área da janela. Assim a força total é simplesmente \Delta p multiplicada pela área A.

Passo 4

Calcular a área da janela (passo a passo, sem pular etapas):
A = L\cdot W = 5,22\\ \mathrm{m}\times 3,11\\ \mathrm{m}.
Multiplicando manualmente:
A = 5,22\cdot 3,11 = 16,2342\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Calcular a pressão manométrica \Delta p=\rho g h:
\Delta p = \rho\cdot g\cdot h = \left(1,00\cdot10^{3}\right)\cdot 9,791\cdot 50,0\\ \mathrm{Pa}.
Calcule passo a passo:
9,791\cdot 50,0 = 489,55,
\Delta p = 1,00\cdot10^{3}\cdot 489,55 = 4,89550\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades convencionais:
\Delta p = 489\,550\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Calcular a força total F=\Delta p\cdot A (mostrando a multiplicação explícita):
F = \Delta p \cdot A = 489\,550\\ \mathrm{Pa}\times 16,2342\\ \mathrm{m^{2}}.
Fazendo a multiplicação por decomposição (para poder fazer sem calculadora):
16,2342 = 16 + 0,2342.
Então
F = 489\,550\cdot 16 + 489\,550\cdot 0,2342.
Calcule cada termo:
489\,550\cdot 16 = 7\,832\,800,
489\,550\cdot 0,2342 = 114\,652,61.
Somando:
F = 7\,832\,800 + 114\,652,61 = 7\,947\,452,61\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação final (motivação sobre algarismos significativos):
  • Os dados têm tipicamente 3 algarismos significativos (por exemplo 5,22, 3,11, h=50,0 tem 3), então apresentar a resposta com 3 algarismos significativos é adequado.
  • Arredondando 7\,947\,452,61\\ \mathrm{N} para 3 algarismos significativos:
F \approx 7,95\cdot10^{6}\\ \mathrm{N}.
  • Interpretação física: essa é a magnitude da força que a água exerce sobre a janela. Para abrir a escotilha empurrando-a para cima desde o interior, é preciso aplicar uma força de pelo menos essa magnitude no sentido oposto para vencer a pressão da água (desprezando pequenas contribuições de fricção, vedações, etc.).

Resposta

7,95\cdot10^{6}\\ \mathrm{N}

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