(3,4 pontos ) Que massa de gelo, no ponto de fusão, deve ser misturada a 120 g de vapor a 100^{\circ} \mathrm{C}, em um recipiente isolado termicamente, para produzir água a 50,0^{\circ} \mathrm{C} ? O calor específico da água vale 1,00 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C} e o calor latente de fusão vale 80,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g} e o de vaporização 540,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a massa de gelo que, estando no ponto de fusão, deve ser misturada a 120\\ \mathrm{g} de vapor a 100^\circ\mathrm{C} em recipiente adiabático, de modo que a mistura final seja água a 50{,}0^\circ\mathrm{C}.
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
  • Massa do vapor: m_{\text{vap}}=120\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do vapor: T_{\text{vap, i}}=100^\circ\mathrm{C}.
  • O gelo está no ponto de fusão: temperatura inicial do gelo T_{\text{gelo, i}}=0^\circ\mathrm{C} (isto é implícito por “no ponto de fusão”).
  • Temperatura final desejada da mistura: T_f=50{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico da água: c=1{,}00\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Calor latente de fusão: L_f=80{,}0\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}.
  • Calor latente de vaporização: L_v=540{,}0\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}.
  • Incógnita: massa de gelo m_{\text{gelo}} (em gramas) que devemos determinar.
O que o problema pede explicitamente: calcular m_{\text{gelo}} tal que, após a condensação do vapor e o equilíbrio térmico, toda a massa resultante esteja em forma de água a 50{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceitos físicos que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Calor latente de vaporização L_v: é a energia necessária para transformar 1\\ \mathrm{g} de água líquida a 100^\circ\mathrm{C} em vapor a 100^\circ\mathrm{C}, ou, invertendo, é a energia liberada quando 1\\ \mathrm{g} de vapor se condensa em água a 100^\circ\mathrm{C}. Unidade: \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}.
  • Calor latente de fusão L_f: é a energia necessária para transformar 1\\ \mathrm{g} de gelo a 0^\circ\mathrm{C} em água a 0^\circ\mathrm{C}. É a energia absorvida pelo gelo ao fundir-se.
  • Calor específico c: quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 1\\ \mathrm{g} de substância em 1^\circ\mathrm{C}. Para a água dada, c=1{,}00\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Princípio da conservação de energia (em processo adiabático sem perdas): o calor total cedido pelos corpos que se resfriam é igual ao calor total absorvido pelos corpos que se aquecem ou mudam de fase. Aqui, o vapor vai liberar calor ao se condensar e ao se resfriar de 100^\circ\mathrm{C} para 50^\circ\mathrm{C}; o gelo vai absorver calor ao fundir-se e ao aquecer a água resultante de 0^\circ\mathrm{C} para 50^\circ\mathrm{C}.
Vou traduzir isso em contas no próximo passo.

Passo 3

Calcular o calor liberado por 1\\ \mathrm{g} de vapor quando passa de vapor a 100^\circ\mathrm{C} até água líquida a 50{,}0^\circ\mathrm{C}.
Processo por grama de vapor:
  1. Condensação a 100^\circ\mathrm{C}: libera L_v por grama.
  2. Resfriamento da água formada de 100^\circ\mathrm{C} até 50^\circ\mathrm{C}: libera energia dada por c\cdot(100-50) por grama.
Escrevendo em forma matemática para o calor liberado por grama de vapor q_{\text{vap,1g}}:
q_{\text{vap,1g}} = L_v + c\cdot(100-50).
Substituindo os valores numéricos:
q_{\text{vap,1g}} = 540{,}0 + 1{,}00\cdot(50) = 540{,}0 + 50 = 590{,}0\\ \mathrm{cal}\\ \text{por grama}.
Para a massa total de vapor m_{\text{vap}}=120\\ \mathrm{g}, o calor total liberado Q_{\text{liberado}} é
Q_{\text{liberado}} = m_{\text{vap}}\cdot q_{\text{vap,1g}} = 120\cdot 590{,}0.

Passo 4

Calcular o calor absorvido por 1\\ \mathrm{g} de gelo ao passar de gelo a 0^\circ\mathrm{C} até água a 50{,}0^\circ\mathrm{C}.
Processo por grama de gelo:
  1. Fusão (gelo 0^\circ\mathrm{C} \to água 0^\circ\mathrm{C}): absorve L_f por grama.
  2. Aquecimento da água de 0^\circ\mathrm{C} até 50^\circ\mathrm{C}: absorve c\cdot(50-0) por grama.
Escrevendo para o calor absorvido por grama de gelo q_{\text{gelo,1g}}:
q_{\text{gelo,1g}} = L_f + c\cdot(50-0).
Substituindo os valores:
q_{\text{gelo,1g}} = 80{,}0 + 1{,}00\cdot50 = 80{,}0 + 50 = 130{,}0\\ \mathrm{cal}\\ \text{por grama}.
Se a massa de gelo for m_{\text{gelo}}, o calor total absorvido é
Q_{\text{absorvido}} = m_{\text{gelo}}\cdot q_{\text{gelo,1g}} = m_{\text{gelo}}\cdot 130{,}0.

Passo 5

Aplicar conservação de energia: o calor cedido pelo vapor deve ser igual ao calor absorvido pelo gelo (recipiente isolado, sem outras trocas):
Q_{\text{liberado}} = Q_{\text{absorvido}}.
Substituindo as expressões obtidas:
120\cdot 590{,}0 = m_{\text{gelo}}\cdot 130{,}0.

Passo 6

Resolver a equação para m_{\text{gelo}}. Primeiro escrevo a igualdade:
m_{\text{gelo}} = \frac{120\cdot 590{,}0}{130{,}0}.
Posso simplificar dividindo numerador e denominador por 10:
m_{\text{gelo}} = \frac{120\cdot 59}{13}.

Passo 7

Fazer a conta numérica com cuidado, passo a passo, sem pular etapas:
120\cdot 59 = 120\cdot (60-1) = 120\cdot60 - 120 = 7200 - 120 = 7080.
Portanto
m_{\text{gelo}} = \frac{7080}{13}.
Agora a divisão:
\frac{7080}{13} = 544{,}615384\ldots
Arredondando de forma razoável (dados foram dados com três algarismos em alguns casos), podemos escrever
m_{\text{gelo}} \approx 544{,}6\\ \mathrm{g}.

Passo 8

Verificação rápida de coerência:
  • Cada grama de vapor libera 590\\ \mathrm{cal}, então 120\\ \mathrm{g} liberam 120\cdot590=70800\\ \mathrm{cal}.
  • Cada grama de gelo precisa 130\\ \mathrm{cal} para virar água a 50^\circ\mathrm{C}, então 544{,}6\\ \mathrm{g} precisam aproximadamente 544{,}6\cdot130\approx70800\\ \mathrm{cal}. As contas batem.
  • O resultado faz sentido fisicamente: uma massa de gelo maior que a massa do vapor é esperada porque a vaporização libera muito mais energia por grama que a fusão absorve (mas ainda assim parte do calor do vapor vai em resfriar água; por isso a razão obtida é dessa ordem).

Passo 9

Resumo final e ânimo: portanto, deve-se misturar aproximadamente meio quilo e meio de gelo (mais precisamente 544{,}6\\ \mathrm{g}) aos 120\\ \mathrm{g} de vapor para obter água a 50{,}0^\circ\mathrm{C}. Boa notícia: o método é sempre o mesmo em problemas assim — transformar cada transformação em quantidade de calor por grama, multiplicar pela massa, e igualar o ganho e a perda de energia.

Resposta

544{,}6\\ \mathrm{g}

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