( 6 pontos) Molécula de água e campo elétrico
A molécula de água \left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right) possui geometria an= Hlar, com ângulo entre as ligações \mathrm{O}-\mathrm{H} igual a 104,50. Admita que cada ligação O-H pode ser modelada como um dipolo elétrico de módulo C_{0}=1.00 \times 10^{-29} \mathrm{C} \mathrm{m}, orientado do átomo de hidrogênio para o átomo de oxigênio.
A molécula é colocada em um campo elétrico uniforme de intensidade E=2.5 \times 10^{6} \mathrm{Vm}^{-1}. Desenhe a situação. Considere 1 Debye
3,34 \times 10^{-30} \mathrm{Cm}
(a) (1 ponto) Considerando a soma vetorial dos dipolos das duas ligações \mathrm{O}-\mathrm{H}, determine o módulo do momento de dipolo resultante da molécula em C m.
(b) (1 ponto) Converta o valor encontrado para Debye.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Ângulo entre as ligações O–H: \,104{,}50^\circ.
    • Módulo do dipolo de cada ligação: \,C_{0}=1{,}00\times10^{-29}\,\mathrm{C\,m}.
    • Campo elétrico uniforme: \,E=2{,}5\times10^{6}\,\mathrm{V\,m^{-1}} (informação presente no enunciado, mas não necessária para os cálculos pedidos).
    • Conversão: 1\\ \text{Debye}=3{,}34\times10^{-30}\,\mathrm{C\,m}.
  • O enunciado pede:
    (a) Determinar o módulo do momento de dipolo resultante da molécula em \mathrm{C\,m}, considerando a soma vetorial dos dois dipolos das ligações O–H.
    (b) Converter o valor de (a) para Debye.
  • Observação sobre o desenho pedido: desenhar a molécula com o oxigênio no centro, os dois hidrogênios formando um ângulo de \,104{,}50^\circ, indicar em cada ligação um vetor dipolo de módulo C_{0} apontando do hidrogênio para o oxigênio, e indicar o vetor resultante apontando ao longo do bissetor do ângulo para o oxigênio.

Passo 2

Como desenhar a situação (passo prático rápido para a prova):
  • Coloque o átomo de oxigênio no centro. Desenhe duas linhas para os hidrogênios de modo que o ângulo entre elas seja \,104{,}50^\circ.
  • Em cada linha (ligação O–H) desenhe uma seta que vai do H para O (porque o enunciado disse que o dipolo está orientado do hidrogênio para o oxigênio). Marque cada uma dessas setas com o módulo \,C_{0}=1{,}00\times10^{-29}\,\mathrm{C\,m}.
  • Desenhe a bissetriz do ângulo; o dipolo resultante estará sobre essa bissetriz, apontando para o oxigênio (soma vetorial dos dois vetores iguais e simétricos).

Passo 3

Regra de soma vetorial que vamos usar (explicação didática):
  • Considere dois vetores de mesmo módulo p (aqui p=C_{0}), com um ângulo \varphi entre eles. A soma vetorial tem módulo
R=2p\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right).
  • Por que isso? Uma explicação simples por componentes: escolha o eixo x ao longo da bissetriz do ângulo. Cada vetor tem uma componente x igual a p\cos(\varphi/2) e componentes y opostas e de mesmo módulo (que se cancelam). Somando as componentes x das duas ligares obtemos R_x= p\cos(\varphi/2)+p\cos(\varphi/2)=2p\cos(\varphi/2), e como não sobra componente perpendicular o módulo resultante é R=2p\cos(\varphi/2).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Aqui p=C_{0}=1{,}00\times10^{-29}\,\mathrm{C\,m} e o ângulo entre os dipolos é \varphi=104{,}50^\circ. Logo \dfrac{\varphi}{2}=52{,}25^\circ.
  • A fórmula:
R=2C_{0}\cos\!\left(52{,}25^\circ\right).
  • Agora calculamos \cos(52{,}25^\circ). Usando uma aproximação decimal (valor tabulado/ calculadora) obtemos aproximadamente \cos(52{,}25^\circ)\approx0{,}612.
  • Substituindo:
R=2\cdot\left(1{,}00\times10^{-29}\right)\cdot0{,}612 =1{,}22\times10^{-29}\,\mathrm{C\,m}.
(Arredondei para três algarismos significativos coerentes com os dados.)

Passo 5

Converter para Debye (explicação da conversão):
  • A relação é simplesmente divisão pelo valor de 1 Debye em \mathrm{C\,m}:
R_{\text{(D)}}=\dfrac{R}{3{,}34\times10^{-30}\,\mathrm{C\,m}}.
  • Substituindo R=1{,}22\times10^{-29}\,\mathrm{C\,m}:
R_{\text{(D)}}=\dfrac{1{,}22\times10^{-29}}{3{,}34\times10^{-30}}\approx3{,}67\\ \text{Debye}.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova:
  • O dipolo resultante tem módulo \,1{,}22\times10^{-29}\,\mathrm{C\,m} e aponta ao longo da bissetriz do ângulo O–H, no sentido do oxigênio (vetores individuais apontam do H para O).
  • Dica prática: quando tiver dois vetores iguais e simétricos, sempre reduz o problema à componente ao longo da bissetriz; isso evita trigonometria complicada na hora da prova.

Resposta

(a) 1{,}22\times10^{-29}\\ \mathrm{C\,m}
(b) 3{,}67\\ \text{Debye}

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