(2,0 pontos) Um objeto A é lançado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Após 2 s , um objeto B é lançado do mesmo ponto, também verticalmente para cima, com velocidade inicial de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Determine:
a) em que instante ocorre o encontro no ar;
b) a altura do encontro;
c) as velocidades com que os objetos chegam ao solo.

Passo 1

O enunciado e os dados importantes (tirados do próprio texto) são:
  • Um objeto A é lançado verticalmente para cima, a partir do solo, no instante t=0, com velocidade inicial \,v_{0}=40\\ \mathrm{m/s}.
  • Um objeto B é lançado do mesmo ponto, também verticalmente para cima, com a mesma velocidade inicial \,v_{0}=40\\ \mathrm{m/s}, mas instantes depois: no instante \,t=2\\ \mathrm{s} (ou seja, 2 s após o lançamento de A).
  • Admitir-se-á a aceleração da gravidade como \,g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor usual em exercícios para facilitar cálculos).
O que o problema pede:
(a) em que instante ocorre o encontro no ar (ou seja, o valor de t medido a partir do lançamento de A);
(b) a altura do encontro (distância vertical acima do solo);
(c) as velocidades com que os objetos chegam ao solo (valores e indicação de direção).

Passo 2

Relembre as equações do movimento vertical uniforme acelerado (quase sempre usadas para lançamentos verticais):
  • A posição vertical (altura) de um objeto lançado para cima com velocidade inicial \,v_{0} em função do tempo transcorrido desde o seu lançamento é
y(t)=v_{0}t-\tfrac{1}{2}gt^{2},
onde y(t) é a altura em metros, t é o tempo em segundos desde o lançamento do objeto e g é a aceleração da gravidade ( g>0). Aqui o sinal negativo aparece porque a gravidade aponta para baixo.
  • A velocidade em função do tempo é
v(t)=v_{0}-gt,
onde v(t) positiva indica movimento para cima e negativa indica movimento para baixo.
Aplicando isso aos dois objetos:
  • Para A, que é lançado em t=0, a altura em função do tempo (medido desde t=0) é
y_{A}(t)=40t-\tfrac{1}{2}\cdot 10\,t^{2}=40t-5t^{2}.
A velocidade de A é
v_{A}(t)=40-10t.
  • Para B, que só começa a se mover em t=2\\ \mathrm{s}, é conveniente medir o tempo total desde o lançamento de A (chamaremos esse tempo de t); o tempo que B já está em movimento é então (t-2) (válido apenas para t\ge 2). Assim a altura de B é
y_{B}(t)=40(t-2)-5(t-2)^{2}.
A velocidade de B no instante t (para t\ge 2) é
v_{B}(t)=40-10(t-2).

Passo 3

Para achar o instante do encontro devemos igualar as alturas, procurando t\ge 2 tal que y_{A}(t)=y_{B}(t). Escrevendo as expressões:
40t-5t^{2}=40(t-2)-5(t-2)^{2}.
Vamos desenvolver o lado direito e simplificar passo a passo:
40(t-2)-5(t-2)^{2}=40t-80-5\big(t^{2}-4t+4\big)=40t-80-5t^{2}+20t-20.
Agrupando termos:
40t-80-5t^{2}+20t-20=(40t+20t)-5t^{2}-(80+20)=60t-5t^{2}-100.
Portanto a igualdade fica
40t-5t^{2}=60t-5t^{2}-100.
Observe que os termos -5t^{2} aparecem em ambos os lados e se cancelam, ficando uma equação linear:
40t=60t-100.
Isolando t:
40t-60t=-100\quad\Rightarrow\quad -20t=-100\quad\Rightarrow\quad t=5\\ \mathrm{s}.
Interpretação: o encontro ocorre em t=5\\ \mathrm{s} após o lançamento de A. Como B foi lançado em t=2\\ \mathrm{s}, isso significa que o encontro ocorre 5-2=3\\ \mathrm{s} após o lançamento de B. Esse valor é maior que 2, logo é válido (os dois estão em voo nesse instante).

Passo 4

Agora calculamos a altura do encontro substituindo t=5 em y_{A}(t) (poderia usar y_{B}(t), dá o mesmo resultado):
y_{A}(5)=40\cdot 5-5\cdot 5^{2}=200-5\cdot 25=200-125=75.
Portanto a altura do encontro é \,75\\ \mathrm{m} acima do solo.

Passo 5

Para achar as velocidades com que cada objeto chega ao solo, precisamos primeiro saber em que instantes cada um atinge o solo (altura zero).
Tempo de queda de A: resolver y_{A}(t)=0,
40t-5t^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad t(40-5t)=0.
As soluções são t=0 (lançamento) e 40-5t=0\Rightarrow t=8\\ \mathrm{s}. A raiz relevante é a maior: t=8\\ \mathrm{s}. Logo A retorna ao solo em t=8\\ \mathrm{s}.
Tempo de queda de B: resolver y_{B}(t)=0. Sabendo que a duração total de voo de um lançamento vertical com velocidade inicial v_{0} é \,T=\dfrac{2v_{0}}{g} depois do seu próprio lançamento, podemos usar isso para checar: com v_{0}=40 e g=10 tem-se T=\dfrac{2\cdot 40}{10}=8\\ \mathrm{s}. Como B foi lançado em t=2\\ \mathrm{s}, ele volta ao solo em t=2+8=10\\ \mathrm{s}. Se preferir resolver pela equação:
40(t-2)-5(t-2)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad (t-2)\big(40-5(t-2)\big)=0,
daí t-2=0 (instante do lançamento de B) ou 40-5(t-2)=0\Rightarrow t-2=8\Rightarrow t=10\\ \mathrm{s}. Então B chega ao solo em t=10\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Finalmente, calculamos as velocidades desses instantes usando v(t)=v_{0}-g\tau, onde \tau é o tempo contado desde o lançamento do respectivo objeto.
Para A no instante t=8\\ \mathrm{s} (tempo desde seu lançamento \tau=8):
v_{A}(8)=40-10\cdot 8=40-80=-40\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que a velocidade é dirigida para baixo; a velocidade escalar (módulo) é 40\\ \mathrm{m/s} apontando para baixo.
Para B no instante t=10\\ \mathrm{s} o tempo desde o lançamento de B é \tau=10-2=8\\ \mathrm{s}, então
v_{B}(10)=40-10\cdot 8=40-80=-40\\ \mathrm{m/s}.
Logo ambos atingem o solo com velocidade -40\\ \mathrm{m/s} (ou seja, 40\\ \mathrm{m/s} para baixo). Isso faz sentido físico: como os dois tiveram a mesma velocidade inicial e a mesma gravidade, cada um retorna ao solo com a mesma velocidade em módulo, embora em instantes diferentes.

Resposta

(a) t=5\\ \mathrm{s} após o lançamento de A (ou seja, 3\\ \mathrm{s} após o lançamento de B).
(b) altura do encontro: 75\\ \mathrm{m}.
(c) velocidades ao tocar o solo: v_{A}=-40\\ \mathrm{m/s} (40 m/s para baixo) e v_{B}=-40\\ \mathrm{m/s} (40 m/s para baixo).

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