(2,0 pontos) Um objeto
é lançado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de
. Após 2 s , um objeto
é lançado do mesmo ponto, também verticalmente para cima, com velocidade inicial de
.
Determine:
a) em que instante ocorre o encontro no ar;
b) a altura do encontro;
c) as velocidades com que os objetos chegam ao solo.
Determine:
a) em que instante ocorre o encontro no ar;
b) a altura do encontro;
c) as velocidades com que os objetos chegam ao solo.
Passo 1
O enunciado e os dados importantes (tirados do próprio texto) são:
- Um objeto
é lançado verticalmente para cima, a partir do solo, no instante , com velocidade inicial . - Um objeto
é lançado do mesmo ponto, também verticalmente para cima, com a mesma velocidade inicial , mas instantes depois: no instante (ou seja, 2 s após o lançamento de ). - Admitir-se-á a aceleração da gravidade como
(valor usual em exercícios para facilitar cálculos).
O que o problema pede:
(a) em que instante ocorre o encontro no ar (ou seja, o valor de medido a partir do lançamento de
);
(b) a altura do encontro (distância vertical acima do solo);
(c) as velocidades com que os objetos chegam ao solo (valores e indicação de direção).
(a) em que instante ocorre o encontro no ar (ou seja, o valor de
(b) a altura do encontro (distância vertical acima do solo);
(c) as velocidades com que os objetos chegam ao solo (valores e indicação de direção).
Passo 2
Relembre as equações do movimento vertical uniforme acelerado (quase sempre usadas para lançamentos verticais):
- A posição vertical (altura) de um objeto lançado para cima com velocidade inicial
em função do tempo transcorrido desde o seu lançamento é
onde
é a altura em metros,
é o tempo em segundos desde o lançamento do objeto e
é a aceleração da gravidade (
). Aqui o sinal negativo aparece porque a gravidade aponta para baixo.
- A velocidade em função do tempo é
onde
positiva indica movimento para cima e negativa indica movimento para baixo.
Aplicando isso aos dois objetos:
- Para
, que é lançado em , a altura em função do tempo (medido desde ) é
A velocidade de
é
- Para
, que só começa a se mover em , é conveniente medir o tempo total desde o lançamento de (chamaremos esse tempo de ); o tempo que já está em movimento é então (válido apenas para ). Assim a altura de é
A velocidade de
no instante
(para
) é
Passo 3
Para achar o instante do encontro devemos igualar as alturas, procurando
tal que
. Escrevendo as expressões:
Vamos desenvolver o lado direito e simplificar passo a passo:
Agrupando termos:
Portanto a igualdade fica
Observe que os termos
aparecem em ambos os lados e se cancelam, ficando uma equação linear:
Isolando
:
Interpretação: o encontro ocorre em
após o lançamento de
. Como
foi lançado em
, isso significa que o encontro ocorre
após o lançamento de
. Esse valor é maior que 2, logo é válido (os dois estão em voo nesse instante).
Passo 4
Agora calculamos a altura do encontro substituindo
em
(poderia usar
, dá o mesmo resultado):
Portanto a altura do encontro é
acima do solo.
Passo 5
Para achar as velocidades com que cada objeto chega ao solo, precisamos primeiro saber em que instantes cada um atinge o solo (altura zero).
Tempo de queda de
: resolver
,
As soluções são
(lançamento) e
. A raiz relevante é a maior:
. Logo
retorna ao solo em
.
Tempo de queda de
: resolver
. Sabendo que a duração total de voo de um lançamento vertical com velocidade inicial
é
depois do seu próprio lançamento, podemos usar isso para checar: com
e
tem-se
. Como
foi lançado em
, ele volta ao solo em
. Se preferir resolver pela equação:
daí
(instante do lançamento de
) ou
. Então
chega ao solo em
.
Passo 6
Finalmente, calculamos as velocidades desses instantes usando
, onde
é o tempo contado desde o lançamento do respectivo objeto.
Para
no instante
(tempo desde seu lançamento
):
O sinal negativo indica que a velocidade é dirigida para baixo; a velocidade escalar (módulo) é
apontando para baixo.
Para
no instante
o tempo desde o lançamento de
é
, então
Logo ambos atingem o solo com velocidade
(ou seja,
para baixo). Isso faz sentido físico: como os dois tiveram a mesma velocidade inicial e a mesma gravidade, cada um retorna ao solo com a mesma velocidade em módulo, embora em instantes diferentes.
Resposta
(a)
após o lançamento de
(ou seja,
após o lançamento de
).
(b) altura do encontro: .
(c) velocidades ao tocar o solo: (40 m/s para baixo) e
(40 m/s para baixo).
(b) altura do encontro:
(c) velocidades ao tocar o solo: