(3,0 pontos) Uma pequena esfera metálica sólida possui um revestimento opaco e difuso, para o qual
para
e
. A esfera, que se encontra inicialmente a uma temperatura uniforme de 300 K , é introduzida em um grande forno cujas paredes estão a 1200 K . Determine:
a) ( 1,0 ponto) A absortividade e a emissividade hemisférica totais do revestimento.
b) ( 1,0 ponto) A variação da temperatura com a exposição à irradiação.
c) (1,0 ponto) A esfera pode ser considerada cinza? Justifique.
a) ( 1,0 ponto) A absortividade e a emissividade hemisférica totais do revestimento.
b) ( 1,0 ponto) A variação da temperatura com a exposição à irradiação.
c) (1,0 ponto) A esfera pode ser considerada cinza? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Revestimento opaco e difuso com absorvidade espectral
-
para , -
para .
-
- Esfera inicialmente a temperatura uniforme
. - Forno grande com paredes isotérmicas a
.
As perguntas:
(a) determinar a absortividade hemisférica total do revestimento e a emissividade hemisférica total (presumivelmente a emissividade à temperatura inicial da esfera,);
(b) descrever a variação da temperatura da esfera quando exposta à irradiação do forno (ou seja, qual será o comportamento/temperatura de equilíbrio);
(c) dizer se a superfície pode ser considerada cinza e justificar.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
- Hemisférica espectral: a absortividade hemisférica total para radiação proveniente de um corpo negro à temperatura
é
onde
é a emissividade espectral do corpo negro à temperatura
. O denominador é a emissão total do corpo negro, que é
.
- Pela lei de Kirchhoff para superfícies opacas em equilíbrio local, a emissividade espectral
é igual à absorvidade espectral . Assim a emissividade hemisférica da superfície à sua temperatura é
- Como
toma só dois valores, podemos escrever (para qualquer temperatura )
onde
é a fração da emissão do corpo negro (à temperatura
) que está em
:
Explicando a redução: em
, em
. Então
Passo 3
Como calcular
de forma prática (uma mini-aula sobre a integral de Planck):
- Ao fazer a mudança de variável usual
com , obtém-se a expressão padronizada
onde aqui
e
.
- O integrando
é a função padrão usada para tabelas/funções de fração espectral. O denominador é a integral total , garantindo que é uma fração (entre 0 e 1).
Vamos calcular
para os dois casos relevantes (incidência do forno
e emissão inicial do corpo
).
Passo 4
Cálculo numérico de
:
- Primeiro a constante adimensional
- Avaliamos a integral
numericamente (usei regra de Simpson com passo ; tabelinha dos valores de e soma conforme Simpson). Do cálculo obteve-se
- Como a integral total é
, a parte de interesse (integral de até ) vale
- Portanto
- Logo a absortividade hemisférica para radiação do forno é
Passo 5
Cálculo numérico de
à temperatura inicial
:
- Primeiro
. - Agora
. Para grande podemos aproximar o integrando por e usar a expressão aproximada da cauda da integral (função gama incompleta). Uma boa aproximação é
- Aplicando com
: -
. -
. - Produto
.
-
- Assim a integral relevante vale aproximadamente
e
- Portanto a emissividade hemisférica à
é
Comentário didático rápido: a grande diferença entre
(0,616) e
(0,109) aparece porque o forno emite majoritariamente em comprimentos de onda
(para
essa banda é energeticamente importante), enquanto a esfera fria em
emite majoritariamente em comprimentos maiores que
— e a superfície absorve mal nessas ondas longas.
Passo 6
Variação da temperatura com exposição (questão (b)):
- Balanço de energia no regime estacionário (equilíbrio radiativo):
- Observe que
foi calculada ponderando com a distribuição espectral do forno a ; por construção, se puser então (isso é coerente com Kirchhoff) e a igualdade acima fica verdadeira. Assim o equilíbrio final da esfera dentro de um forno grande e isoterma é
- Portanto, exposta à irradiação do forno a
, a esfera irá aquecer de em direção a , aproximando-se assintoticamente de . A variação temporal exata exige a equação transiente de energia:
onde
é a massa da esfera,
o calor específico e
a área de superfície. Sem
,
e
não se pode dar uma curva temporal numérica; mas a forma da equação está aqui para a prova — é suficiente para dizer que a esfera aquece até
.
Passo 7
Resposta à pergunta (c) — a superfície é cinza?
- Definição prática: uma superfície é cinza se sua emissividade (e, em consequência, sua absorvidade) é praticamente independente do comprimento de onda em toda a faixa relevante.
- Aqui
tem dois valores bem distintos ( para e para ). Logo há forte dependência espectral. Além disso a emissividade hemisférica depende da temperatura do corpo ( enquanto ), o que não ocorre para um cinza (onde é constante, independente da temperatura e da distribuição espectral). - Conclusão: o revestimento não pode ser considerado cinza; é um revestimento seletivo (não-cinza).
Resposta
(a)
(para radiação do forno a
)
.
(à
)
.
(b) A esfera aquece de em direção a
; a temperatura de equilíbrio é
.
(c) Não — o revestimento não é cinza, pois varia fortemente com
(0{,}8 vs 0{,}1) e a emissividade hemisférica depende da temperatura.
(b) A esfera aquece de
(c) Não — o revestimento não é cinza, pois