(2,0 pontos) Ao realizar um tratamento térmico em 900^{\circ} \mathrm{C} de um nióbio puro a concentração de lacunas é 2700 vezes superior à concentração de equilibrio à temperatura ambiente. Calcule a energia de ativação (Q) necessária para produzir essa concentração de lacunas à 900^{\circ} \mathrm{C}.

Dado:

Concentração de lacunas a temperatura ambiente 2,85 \times 10^{15} \frac{\text { átomos }}{\mathrm{m}^{3}}á
Nióbio possui estrutura cúbica de corpo centrado
Parâmetro de rede do nióbio igual a 0,3308 \mathrm{~nm}.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a energia de ativação Q necessária para produzir a concentração de lacunas a 900^{\circ}\mathrm{C}, sabendo que essa concentração é 2700 vezes a concentração de equilíbrio à temperatura ambiente.
Informações dadas (peguei exatamente do enunciado):
  • Concentração de lacunas à temperatura ambiente: C_{\text{amb}}=2,85\times10^{15}\\ \dfrac{\text{átomos}}{\mathrm{m}^{3}}á.
  • Nióbio possui estrutura cúbica de corpo centrado (BCC).
  • Parâmetro de rede do nióbio: a=0,3308\\ \mathrm{nm}.
  • Fator entre concentrações: C_{900^\circ\mathrm{C}} = 2700\cdot C_{\text{amb}}.
Observação necessária (assunção): vou tomar “temperatura ambiente” como 25^\circ\mathrm{C}=298\\ \mathrm{K} e 900^\circ\mathrm{C}=1173\\ \mathrm{K}. Não há outra temperatura indicada, então sigo essa convenção.

Passo 2

Entender a relação entre concentração de lacunas e energia de ativação.
A relação de equilíbrio (tipo Arrhenius) entre fração de sítios com lacuna e energia de formação é
\frac{n_v}{N}=\exp\!\left(-\frac{Q}{k_B T}\right),
onde:
  • n_v é o número de lacunas por volume (concentração de lacunas),
  • N é o número de sítios atômicos por volume (densidade de átomos cristalográficos),
  • Q é a energia de ativação/ formação de uma lacuna (por átomo),
  • k_B é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Da equação acima isolamos Q:
Q = -k_B T \ln\!\left(\frac{n_v}{N}\right).
No nosso caso usaremos a condição a 900^\circ\mathrm{C}, portanto usaremos T=1173\\ \mathrm{K} e \dfrac{n_v}{N}=\dfrac{C_{900^\circ\mathrm{C}}}{N}.

Passo 3

Calcular a densidade de sítios atômicos N a partir da rede BCC.
Para BCC há 2 átomos por célula unidade. Volume da célula: a^3 com a em metros. Primeiro converto a:
a=0,3308\\ \mathrm{nm}=0,3308\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=3{,}308\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Volume da cela:
a^3=(3{,}308\times10^{-10})^3\\ \mathrm{m}^3 \approx 3{,}6222\times10^{-29}\\ \mathrm{m}^3.
Logo a densidade de sítios atômicos é
N=\frac{2}{a^3}\approx\frac{2}{3{,}6222\times10^{-29}}\\ \mathrm{m}^{-3}\approx5{,}52\times10^{28}\\ \frac{\text{átomos}}{\mathrm{m}^{3}}.á

Passo 4

Calcular a concentração de lacunas a 900^\circ\mathrm{C} e a fração de sítios com lacuna nessa temperatura.
Concentração a 900^\circ\mathrm{C}:
C_{900^\circ\mathrm{C}}=2700\cdot C_{\text{amb}}=2700\cdot(2{,}85\times10^{15})=7{,}695\times10^{18}\\ \frac{\text{átomos}}{\mathrm{m}^{3}}.á
Frações de sítios com lacuna a 900^\circ\mathrm{C}:
\frac{n_v}{N}=\frac{C_{900^\circ\mathrm{C}}}{N}=\frac{7{,}695\times10^{18}}{5{,}52\times10^{28}}\approx1{,}394\times10^{-10}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Arrhenius e calcular Q.
Usando
Q = -k_B T \ln\!\left(\frac{n_v}{N}\right),
com k_B=8{,}617333262\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K} (uso eV por átomo para facilitar interpretação), T=1173\\ \mathrm{K} e \dfrac{n_v}{N}=1{,}394\times10^{-10}:
Calculo do logaritmo:
\ln\!\left(1{,}394\times10^{-10}\right)\approx-22{,}695.
Portanto
Q = -\bigl(8{,}617333262\times10^{-5}\bigr)\cdot1173\cdot(-22{,}695)\\ \mathrm{eV}\approx2{,}29\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Converter Q para unidades por mol (opcional, mas útil).
Usando 1\\ \mathrm{eV/átomo}=96{,}485\\ \mathrm{kJ/mol}á:
Q\approx2{,}29\\ \mathrm{eV/átomo}\times96{,}485\\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{eV}}\approx221{,}5\\ \mathrm{kJ/mol}.á

Resposta

Q\approx2{,}29\\ \mathrm{eV/átomo}á
Q\approx221{,}5\\ \mathrm{kJ/mol}

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