(2,0 pontos) Ao realizar um tratamento térmico em
de um nióbio puro a concentração de lacunas é 2700 vezes superior à concentração de equilibrio à temperatura ambiente. Calcule a energia de ativação
necessária para produzir essa concentração de lacunas à
.
Dado:
Concentração de lacunas a temperatura ambiente
Nióbio possui estrutura cúbica de corpo centrado
Parâmetro de rede do nióbio igual a
.
Nióbio possui estrutura cúbica de corpo centrado
Parâmetro de rede do nióbio igual a
Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular a energia de ativação
necessária para produzir a concentração de lacunas a , sabendo que essa concentração é vezes a concentração de equilíbrio à temperatura ambiente.
Informações dadas (peguei exatamente do enunciado):
- Concentração de lacunas à temperatura ambiente:
. - Nióbio possui estrutura cúbica de corpo centrado (BCC).
- Parâmetro de rede do nióbio:
. - Fator entre concentrações:
.
Observação necessária (assunção): vou tomar “temperatura ambiente” como
e
. Não há outra temperatura indicada, então sigo essa convenção.
Passo 2
Entender a relação entre concentração de lacunas e energia de ativação.
A relação de equilíbrio (tipo Arrhenius) entre fração de sítios com lacuna e energia de formação é
onde:
-
é o número de lacunas por volume (concentração de lacunas), -
é o número de sítios atômicos por volume (densidade de átomos cristalográficos), -
é a energia de ativação/ formação de uma lacuna (por átomo), -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura absoluta em kelvin.
Da equação acima isolamos
:
No nosso caso usaremos a condição a
, portanto usaremos
e
.
Passo 3
Calcular a densidade de sítios atômicos
a partir da rede BCC.
Para BCC há
átomos por célula unidade. Volume da célula:
com
em metros. Primeiro converto
:
Volume da cela:
Logo a densidade de sítios atômicos é
Passo 4
Calcular a concentração de lacunas a
e a fração de sítios com lacuna nessa temperatura.
Concentração a
:
Frações de sítios com lacuna a
:
Passo 5
Aplicar a fórmula de Arrhenius e calcular
.
Usando
com
(uso eV por átomo para facilitar interpretação),
e
:
Calculo do logaritmo:
Portanto
Passo 6
Converter
para unidades por mol (opcional, mas útil).
Usando
: