(3 pontos) Em uma subestação de distribuição, o número de falhas momentâneas em disjuntores eletrônicos segue aproximadamente uma distribuição de Poisson, com média de
falhas por dia, devido a surtos, variações de carga e pequenas instabilidades da rede. Para planejamento da equipe de manutenção, o engenheiro deseja saber qual é a probabilidade de, em um determinado dia, ocorrerem entre 35 e 55 falhas.
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória que conta o número de falhas momentâneas por dia e diz que essa contagem segue aproximadamente uma distribuição de Poisson com parâmetro
. A pergunta é: qual a probabilidade de, em um dia qualquer, ocorrerem entre 35 e 55 falhas (interpreto como inclusive 35 e 55)?
Informações relevantes:
- Distribuição: Poisson com parâmetro
. - Evento pedido:
, onde é o número de falhas no dia. - Quer-se a probabilidade
.
Passo 2
Relembrando o que é a Poisson e suas propriedades (aula rápida e prática).
- A distribuição de Poisson descreve o número de ocorrências de eventos raros em um intervalo fixo quando ocorrências são independentes e a taxa média é constante.
- A função massa de probabilidade é
onde
é a média e também a variância.
- Para
temos e .
Cálculo exato da soma
é possível em computador, mas impraticável à mão numa prova sem calculadora. Então vamos aproximar.
Passo 3
Justificativa da aproximação Normal (por que usar).
- Quando
é grande (regra prática: ), a distribuição de Poisson pode ser bem aproximada por uma normal com média e variância . - Aqui
é suficientemente grande, então aproximamos
- Assim
e .
Passo 4
Explicando a correção de continuidade (muito importante).
- Poisson é discreta; Normal é contínua. Para aproximar
usamos correção de continuidade:
onde
é a normal contínua
. (Usa-se
e
para incluir os inteiros 35 e 55.)
Passo 5
Calcular os escores-
e as probabilidades na Normal padrão.
- Primeiro a raiz:
- Escore inferior:
- Escore superior:
- Usando tabela da Normal padrão (ou tabela
):
e
Passo 6
Encontrar a probabilidade aproximada e interpretar.
Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente
, ou seja cerca de
. Isso faz sentido: com média 40 e desvio padrão
, o intervalo de 35 a 55 cobre desde cerca de
até
, conseguindo uma probabilidade alta.