(3 pontos) Em uma subestação de distribuição, o número de falhas momentâneas em disjuntores eletrônicos segue aproximadamente uma distribuição de Poisson, com média de \lambda=40 falhas por dia, devido a surtos, variações de carga e pequenas instabilidades da rede. Para planejamento da equipe de manutenção, o engenheiro deseja saber qual é a probabilidade de, em um determinado dia, ocorrerem entre 35 e 55 falhas.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória que conta o número de falhas momentâneas por dia e diz que essa contagem segue aproximadamente uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=40. A pergunta é: qual a probabilidade de, em um dia qualquer, ocorrerem entre 35 e 55 falhas (interpreto como inclusive 35 e 55)?
Informações relevantes:
  • Distribuição: Poisson com parâmetro \lambda=40.
  • Evento pedido: 35 \le X \le 55, onde X é o número de falhas no dia.
  • Quer-se a probabilidade P(35 \le X \le 55).

Passo 2

Relembrando o que é a Poisson e suas propriedades (aula rápida e prática).
  • A distribuição de Poisson descreve o número de ocorrências de eventos raros em um intervalo fixo quando ocorrências são independentes e a taxa média é constante.
  • A função massa de probabilidade é
P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!},
onde \lambda é a média e também a variância.
  • Para \lambda=40 temos \mathbb{E}[X]=\lambda=40 e \mathrm{Var}(X)=\lambda=40.
Cálculo exato da soma P(35\le X\le 55)=\sum_{k=35}^{55} \frac{e^{-40}40^k}{k!} é possível em computador, mas impraticável à mão numa prova sem calculadora. Então vamos aproximar.

Passo 3

Justificativa da aproximação Normal (por que usar).
  • Quando \lambda é grande (regra prática: \lambda\gtrsim 10), a distribuição de Poisson pode ser bem aproximada por uma normal com média \mu=\lambda e variância \sigma^2=\lambda.
  • Aqui \lambda=40 é suficientemente grande, então aproximamos
X\sim\text{Poisson}(40)\approx Y\sim N(\mu,\sigma^2)=N(40,40).
  • Assim \mu=40 e \sigma=\sqrt{40}.

Passo 4

Explicando a correção de continuidade (muito importante).
  • Poisson é discreta; Normal é contínua. Para aproximar P(35\le X\le 55) usamos correção de continuidade:
P(35\le X\le 55)\approx P(34{,}5<Y<55{,}5),
onde Y é a normal contínua N(40,40). (Usa-se 34{,}5 e 55{,}5 para incluir os inteiros 35 e 55.)

Passo 5

Calcular os escores- z e as probabilidades na Normal padrão.
  • Primeiro a raiz: \displaystyle \sigma=\sqrt{40}\approx 6{,}3246.
  • Escore inferior:
z_1=\frac{34{,}5-40}{\sqrt{40}}=\frac{-5{,}5}{6{,}3246}\approx -0{,}87.
  • Escore superior:
z_2=\frac{55{,}5-40}{\sqrt{40}}=\frac{15{,}5}{6{,}3246}\approx 2{,}45.
  • Usando tabela da Normal padrão (ou tabela \Phi(z) ):
    \Phi(2{,}45)\approx 0{,}9929 e \Phi(-0{,}87)=1-\Phi(0{,}87)\approx 1-0{,}8078=0{,}1922.

Passo 6

Encontrar a probabilidade aproximada e interpretar.
P(34{,}5<Y<55{,}5)=\Phi(2{,}45)-\Phi(-0{,}87)\approx 0{,}9929-0{,}1922=0{,}8007.
Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente 0{,}801, ou seja cerca de 80{,}1\%. Isso faz sentido: com média 40 e desvio padrão \approx6{,}32, o intervalo de 35 a 55 cobre desde cerca de -0{,}87\sigma até +2{,}45\sigma, conseguindo uma probabilidade alta.

Resposta

P(35\le X\le 55)\approx 0{,}801

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