(2,0 pontos) Do topo de uma torre de 100 m , um objeto A é abandonado. Dois segundos depois, do mesmo ponto, um objeto B é lançado verticalmente para baixo com velocidade inicial de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Determine:
a) em que instante B alcança A;
b) a altura, em relação ao solo, em que ocorre o encontro;
c) a velocidade de cada objeto nesse instante.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. (Assumo para este problema a aceleração da gravidade igual a \,g=10\\ \mathrm{m/s^2}\,, valor usual em provas por facilitar contas; se usar \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\, os resultados mudam um pouco.)
Dados:
  • Altura da torre em relação ao solo: \,100\\ \mathrm{m}.
  • Objeto A: abandonado do topo no instante \,t=0. Velocidade inicial de A: \,v_{A0}=0.
  • Objeto B: lançado do mesmo ponto \,2\\ \mathrm{s} depois, ou seja no instante \,t=2\\ \mathrm{s}. Velocidade inicial de B: \,v_{B0}=40\\ \mathrm{m/s} para baixo.
  • Direção: “para baixo” é a direção do movimento; vou usar convenção de sinais com altura acima do solo positiva (ou seja, aceleração é \,a=-g).
O enunciado pede:
(a) em que instante \,B alcança \,A (tempo contado desde o instante em que A foi abandonado, isto é desde \,t=0);
(b) a altura em relação ao solo onde ocorre o encontro;
(c) a velocidade de cada objeto nesse instante (especificar direção).

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas de cinemática que usarei e explicar cada símbolo.
Para um movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) vale:
h(t)=h_0+v_0 t+\tfrac{1}{2} a t^2,
onde
  • \,h(t) é a altura (em metros) em função do tempo \,t (em segundos);
  • \,h_0 é a altura inicial (em metros);
  • \,v_0 é a velocidade inicial (em \mathrm{m/s}); sinais positivos/negativos indicam direção;
  • \,a é a aceleração (em \mathrm{m/s^2}).
A velocidade em função do tempo é dada por
v(t)=v_0 + a t,
com os mesmos significados de símbolos.
No nosso problema escolhi medir altura acima do solo (positivo para cima). Assim a gravidade é uma aceleração para baixo, ou seja
a=-g=-10\\ \mathrm{m/s^2}.
(Se alguém preferir, dá para tomar para baixo como positivo; é só manter consistência.)

Passo 3

Escrever as equações das alturas de A e B, com referência ao tempo contado desde a liberação de A ( t=0 quando A é largado).
Para A:
  • h_{A0}=100\\ \mathrm{m},
  • v_{A0}=0,
  • a=-10\\ \mathrm{m/s^2}.
Logo, usando a fórmula,
h_A(t)=100 + 0\cdot t + \tfrac{1}{2}(-10)t^2 = 100 - 5 t^2.
Para B: B só começa a se mover em t=2\\ \mathrm{s}. Para t\ge2 definimos \tau=t-2 como o tempo desde o lançamento de B. Então:
  • altura inicial (no instante t=2) é h_{B0}=100\\ \mathrm{m},
  • velocidade inicial (no instante t=2) é v_{B0}=-40\\ \mathrm{m/s} (negativo porque é para baixo),
  • aceleração a=-10\\ \mathrm{m/s^2}.
Logo, para t\ge2,
h_B(t)=100 + v_{B0}\,(t-2) + \tfrac{1}{2}(-10)(t-2)^2.
Substituindo v_{B0}=-40 e \tfrac{1}{2}(-10)=-5,
h_B(t)=100 -40(t-2) -5(t-2)^2.

Passo 4

Determinar o instante de encontro: resolver h_A(t)=h_B(t) para t\ge2.
Partindo das expressões:
100 - 5 t^2 = 100 -40(t-2) -5(t-2)^2.
Podemos cancelar os 100 nos dois lados:
-5 t^2 = -40(t-2) -5(t-2)^2.
Multiplicando por -1:
5 t^2 = 40(t-2) + 5(t-2)^2.
Multiplicando tudo por 1 (já está simples), podemos dividir ambos os lados por 5 para simplificar:
t^2 = 8(t-2) + (t-2)^2.
Agora expandir (t-2)^2:
t^2 = 8(t-2) + (t^2 -4t +4).
O t^2 aparece nos dois lados; subtrai-se t^2 de ambos os lados:
0 = 8(t-2) -4t +4.
Expandir 8(t-2):
0 = 8t -16 -4t +4.
Juntar termos:
0 = (8t-4t) + (-16+4) = 4t -12.
Portanto
4t -12 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4t = 12 \quad\Rightarrow\quad t=3\\ \mathrm{s}.
Verificação da condição: \,t=3\\ \mathrm{s}\ge2\\ \mathrm{s}, logo é aceitável (o encontro ocorre depois do lançamento de B).

Passo 5

Calcular a altura do encontro substituindo t=3 em h_A(t) (ou em h_B(t), deve dar o mesmo resultado).
Usando h_A(t)=100-5t^2:
h_A(3)=100 -5\cdot 3^2 = 100 -5\cdot9 = 100 -45 = 55\\ \mathrm{m}.
Portanto o encontro ocorre a \,55\\ \mathrm{m} acima do solo.

Passo 6

Calcular as velocidades de cada objeto no instante t=3.
Para A, usando v_A(t)=v_{A0}+a t com v_{A0}=0 e a=-10:
v_A(3)=0 + (-10)\cdot 3 = -30\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica direção para baixo; em módulo a velocidade é 30\\ \mathrm{m/s} para baixo.
Para B, o tempo desde seu lançamento é \tau = t-2 = 3-2 =1\\ \mathrm{s}. Usando v_B(\tau)=v_{B0}+a\tau com v_{B0}=-40 e a=-10:
v_B(3)= -40 + (-10)\cdot 1 = -50\\ \mathrm{m/s}.
Novamente o sinal negativo indica para baixo; em módulo a velocidade é 50\\ \mathrm{m/s} para baixo.

Passo 7

Resumo e checagens:
  • O tempo t=3\\ \mathrm{s} é posterior a 2\\ \mathrm{s}, portanto válido.
  • As alturas calculadas por h_A e h_B coincidem (usamos h_A), confirmando consistência.
  • Direções das velocidades são para baixo, como esperado.

Resposta

(a) t=3\\ \mathrm{s}
(b) h=55\\ \mathrm{m}
(c) v_A=-30\\ \mathrm{m/s} (30 m/s para baixo); v_B=-50\\ \mathrm{m/s} (50 m/s para baixo)

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