(2,0 pontos) Do topo de uma torre de 100 m , um objeto
é abandonado. Dois segundos depois, do mesmo ponto, um objeto
é lançado verticalmente para baixo com velocidade inicial de
.
Determine:
a) em que instante
alcança
;
b) a altura, em relação ao solo, em que ocorre o encontro;
c) a velocidade de cada objeto nesse instante.
Determine:
a) em que instante
b) a altura, em relação ao solo, em que ocorre o encontro;
c) a velocidade de cada objeto nesse instante.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. (Assumo para este problema a aceleração da gravidade igual a
, valor usual em provas por facilitar contas; se usar
os resultados mudam um pouco.)
Dados:
- Altura da torre em relação ao solo:
. - Objeto
: abandonado do topo no instante . Velocidade inicial de : . - Objeto
: lançado do mesmo ponto depois, ou seja no instante . Velocidade inicial de : para baixo. - Direção: “para baixo” é a direção do movimento; vou usar convenção de sinais com altura acima do solo positiva (ou seja, aceleração é
).
O enunciado pede:
(a) em que instante alcança
(tempo contado desde o instante em que
foi abandonado, isto é desde
);
(b) a altura em relação ao solo onde ocorre o encontro;
(c) a velocidade de cada objeto nesse instante (especificar direção).
(a) em que instante
(b) a altura em relação ao solo onde ocorre o encontro;
(c) a velocidade de cada objeto nesse instante (especificar direção).
Passo 2
Vou lembrar as fórmulas de cinemática que usarei e explicar cada símbolo.
Para um movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) vale:
onde
-
é a altura (em metros) em função do tempo (em segundos); -
é a altura inicial (em metros); -
é a velocidade inicial (em ); sinais positivos/negativos indicam direção; -
é a aceleração (em ).
A velocidade em função do tempo é dada por
com os mesmos significados de símbolos.
No nosso problema escolhi medir altura acima do solo (positivo para cima). Assim a gravidade é uma aceleração para baixo, ou seja
(Se alguém preferir, dá para tomar para baixo como positivo; é só manter consistência.)
Passo 3
Escrever as equações das alturas de
e
, com referência ao tempo contado desde a liberação de
(
quando
é largado).
Para
:
-
, -
, -
.
Logo, usando a fórmula,
Para
:
só começa a se mover em
. Para
definimos
como o tempo desde o lançamento de
. Então:
- altura inicial (no instante
) é , - velocidade inicial (no instante
) é (negativo porque é para baixo), - aceleração
.
Logo, para
,
Substituindo
e
,
Passo 4
Determinar o instante de encontro: resolver
para
.
Partindo das expressões:
Podemos cancelar os
nos dois lados:
Multiplicando por
:
Multiplicando tudo por
(já está simples), podemos dividir ambos os lados por
para simplificar:
Agora expandir
:
O
aparece nos dois lados; subtrai-se
de ambos os lados:
Expandir
:
Juntar termos:
Portanto
Verificação da condição:
, logo é aceitável (o encontro ocorre depois do lançamento de
).
Passo 5
Calcular a altura do encontro substituindo
em
(ou em
, deve dar o mesmo resultado).
Usando
:
Portanto o encontro ocorre a
acima do solo.
Passo 6
Calcular as velocidades de cada objeto no instante
.
Para
, usando
com
e
:
O sinal negativo indica direção para baixo; em módulo a velocidade é
para baixo.
Para
, o tempo desde seu lançamento é
. Usando
com
e
:
Novamente o sinal negativo indica para baixo; em módulo a velocidade é
para baixo.
Passo 7
Resumo e checagens:
- O tempo
é posterior a , portanto válido. - As alturas calculadas por
e coincidem (usamos ), confirmando consistência. - Direções das velocidades são para baixo, como esperado.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(30 m/s para baixo);
(50 m/s para baixo)