A posição de uma partícula é dada por
.
a) Mostre que a trajetória é uma hélice circular de raio 1 .
b) Calcule a velocidade
e a rapidez
.
c) Calcule a aceleração
.
d) Verifique que
para todo
e interprete geometricamente.
a) Mostre que a trajetória é uma hélice circular de raio 1 .
b) Calcule a velocidade
c) Calcule a aceleração
d) Verifique que
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma partícula por
para
e pede quatro coisas:
- (a) Mostrar que a trajetória é uma hélice circular de raio
. - (b) Calcular a velocidade
e a rapidez . - (c) Calcular a aceleração
. - (d) Verificar a identidade
para todo e interpretar geometricamente.
As informações relevantes dadas no enunciado são exatamente as componentes de
: as coordenadas
,
e
.
Passo 2
Entender o que significa "hélice circular de raio
" e como ver isso a partir de
.
- Uma hélice circular é a curva que resulta de uma circunferência de raio fixo (no plano
) deslocando-se ao longo do eixo enquanto o parâmetro varia. - Para reconhecer isso usamos a projeção da curva no plano
, que é dada pelas duas primeiras componentes . - O raio da circunferência no plano
é o módulo do vetor . Vamos calcular esse módulo e ver se é constante e igual a .
Passo 3
Calcular o módulo da projeção no plano
.
- O módulo do vetor
é
- Usando a identidade trigonométrica básica
, obtemos
- Conclusão intermediária: a projeção no plano
é a circunferência de raio . Como a componente cresce linearmente com , a curva sobe uniformemente enquanto descreve a circunferência no plano . Isso é exatamente uma hélice circular de raio .
Passo 4
Resumo do raciocínio para (a) (já mostrado passo a passo): a projeção em
é um círculo de raio
porque
, e
fornece a elevação linear — logo a curva é uma hélice circular de raio
.
Passo 5
Agora vamos calcular a velocidade
. Para derivar um vetor componente a componente usamos a regra: a derivada de
é
.
-
Derivadas das componentes:
-
. -
. -
.
-
-
Portanto a velocidade é
Passo 6
Explicar e calcular a rapidez
.
- A rapidez (ou velocidade escalar) é o módulo do vetor velocidade. Para um vetor
o módulo é
- Aqui temos
. Então
- Usando
obtemos
- Observação importante: a rapidez é constante igual a
. Isso significa que a partícula se move ao longo da hélice com rapidez constante.
Passo 7
Calcular a aceleração
derivando componente a componente novamente.
-
Derivadas das componentes de
: -
. -
. -
.
-
-
Portanto
Passo 8
Verificações algébricas relacionadas ao item (d). O enunciado pede para verificar
para todo
. Vamos calcular o produto escalar
explicitamente.
- Produto escalar definição: para
e ,
- Aplicando a
e :
- Simplificando os dois primeiros termos:
- Então restou
- Conclusão:
, que não é zero para todo (é zero apenas em ). Portanto a igualdade sugerida no enunciado, para todo , é falsa. Há claramente uma inconsistência se o enunciado afirmava isso.
Passo 9
Interpretação geométrica correta e comentários úteis para a prova (o que a igualdade verdadeira nos diz).
- Embora
em geral, há duas observações geométricas importantes e verdadeiras que vale entender: - A projeção horizontal (no plano
) de é e a projeção horizontal de é . O produto escalar dessas projeções é
ou seja, no plano a velocidade é sempre perpendicular ao vetor radial . Isso corresponde ao fato de que a partícula está descrevendo a circunferência no plano com movimento tangencial (velocidade tangente à circunferência).
2. O produto escalar entre velocidade e aceleração éAssim para todo . Geometricamente isto significa que a aceleração é sempre perpendicular à velocidade — característica de movimento de rapidez constante (pois ). - A projeção horizontal (no plano
- Em palavras amigáveis: a partícula gira ao redor do eixo
(movimento circular na projeção ), por isso a velocidade tangencial é perpendicular ao raio no plano horizontal; ao mesmo tempo a velocidade tem uma componente vertical constante (devido ao em ), por isso o vetor posição não é sempre perpendicular à velocidade total — daí em vez de .
Resposta
(a) A curva é uma hélice circular de raio
.
(b)
(c)
(d) (portanto não é
para todo
; é zero apenas em
). Observações geométricas verdadeiras:
(velocidade tangente à circunferência no plano
) e
(aceleração perpendicular à velocidade, indicando rapidez constante).
(b)
(c)
(d)