A posição de uma partícula é dada por \mathbf{r}(t)=(\cos t, \sin t, t), t \geq 0.
a) Mostre que a trajetória é uma hélice circular de raio 1 .
b) Calcule a velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}^{\prime}(t) e a rapidez \|\mathbf{v}(t)\|.
c) Calcule a aceleração \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}^{\prime \prime}(t).
d) Verifique que \mathbf{v}(t) \cdot \mathbf{r}(t)=0 para todo t e interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula por \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t) para t\ge 0 e pede quatro coisas:
  • (a) Mostrar que a trajetória é uma hélice circular de raio 1.
  • (b) Calcular a velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) e a rapidez \|\mathbf{v}(t)\|.
  • (c) Calcular a aceleração \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t).
  • (d) Verificar a identidade \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{r}(t)=0 para todo t e interpretar geometricamente.
As informações relevantes dadas no enunciado são exatamente as componentes de \mathbf{r}(t): as coordenadas x(t)=\cos t, y(t)=\sin t e z(t)=t.

Passo 2

Entender o que significa "hélice circular de raio 1" e como ver isso a partir de \mathbf{r}(t).
  • Uma hélice circular é a curva que resulta de uma circunferência de raio fixo (no plano xy) deslocando-se ao longo do eixo z enquanto o parâmetro t varia.
  • Para reconhecer isso usamos a projeção da curva no plano xy, que é dada pelas duas primeiras componentes (x(t),y(t))=(\cos t,\sin t).
  • O raio da circunferência no plano xy é o módulo do vetor (x(t),y(t)). Vamos calcular esse módulo e ver se é constante e igual a 1.

Passo 3

Calcular o módulo da projeção no plano xy.
  • O módulo do vetor (\cos t,\sin t) é
\sqrt{(\cos t)^2+(\sin t)^2}.
  • Usando a identidade trigonométrica básica \cos^2 t+\sin^2 t=1, obtemos
\sqrt{(\cos t)^2+(\sin t)^2}=\sqrt{1}=1.
  • Conclusão intermediária: a projeção no plano xy é a circunferência de raio 1. Como a componente z(t)=t cresce linearmente com t, a curva sobe uniformemente enquanto descreve a circunferência no plano xy. Isso é exatamente uma hélice circular de raio 1.

Passo 4

Resumo do raciocínio para (a) (já mostrado passo a passo): a projeção em xy é um círculo de raio 1 porque \cos^2 t+\sin^2 t=1, e z=t fornece a elevação linear — logo a curva é uma hélice circular de raio 1.

Passo 5

Agora vamos calcular a velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t). Para derivar um vetor componente a componente usamos a regra: a derivada de (x(t),y(t),z(t)) é (x'(t),y'(t),z'(t)).
  • Derivadas das componentes:
    • \dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t.
    • \dfrac{d}{dt}\sin t = \cos t.
    • \dfrac{d}{dt}t = 1.
  • Portanto a velocidade é
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;1).

Passo 6

Explicar e calcular a rapidez \|\mathbf{v}(t)\|.
  • A rapidez (ou velocidade escalar) é o módulo do vetor velocidade. Para um vetor (v_x,v_y,v_z) o módulo é
\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
  • Aqui temos v_x=-\sin t,\; v_y=\cos t,\; v_z=1. Então
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2} =\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t+1}.
  • Usando \sin^2 t+\cos^2 t=1 obtemos
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
  • Observação importante: a rapidez é constante igual a \sqrt{2}. Isso significa que a partícula se move ao longo da hélice com rapidez constante.

Passo 7

Calcular a aceleração \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\mathbf{v}'(t) derivando componente a componente novamente.
  • Derivadas das componentes de \mathbf{v}(t)=(-\sin t,\cos t,1):
    • \dfrac{d}{dt}(-\sin t)=-\cos t.
    • \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t.
    • \dfrac{d}{dt}1=0.
  • Portanto
\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=(-\cos t,\; -\sin t,\; 0).

Passo 8

Verificações algébricas relacionadas ao item (d). O enunciado pede para verificar \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{r}(t)=0 para todo t. Vamos calcular o produto escalar \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{r}(t) explicitamente.
  • Produto escalar definição: para \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{w}=(w_x,w_y,w_z),
\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=u_x w_x+u_y w_y+u_z w_z.
  • Aplicando a \mathbf{v}(t)=(-\sin t,\cos t,1) e \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t):
\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{r}(t) =(-\sin t)(\cos t)+(\cos t)(\sin t)+1\cdot t.
  • Simplificando os dois primeiros termos:
(-\sin t)(\cos t)+(\cos t)(\sin t)=-\sin t\cos t+\sin t\cos t=0.
  • Então restou
\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{r}(t)=t.
  • Conclusão: \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{r}(t)=t, que não é zero para todo t (é zero apenas em t=0). Portanto a igualdade sugerida no enunciado, \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{r}(t)=0 para todo t, é falsa. Há claramente uma inconsistência se o enunciado afirmava isso.

Passo 9

Interpretação geométrica correta e comentários úteis para a prova (o que a igualdade verdadeira nos diz).
  • Embora \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{r}(t)\neq 0 em geral, há duas observações geométricas importantes e verdadeiras que vale entender:
    1. A projeção horizontal (no plano xy) de \mathbf{r}(t) é \mathbf{r}_{xy}(t)=(\cos t,\sin t,0) e a projeção horizontal de \mathbf{v}(t) é \mathbf{v}_{xy}(t)=(-\sin t,\cos t,0). O produto escalar dessas projeções é
    \mathbf{v}_{xy}(t)\cdot\mathbf{r}_{xy}(t)=(-\sin t)(\cos t)+(\cos t)(\sin t)=0,ou seja, no plano xy a velocidade é sempre perpendicular ao vetor radial (\cos t,\sin t,0). Isso corresponde ao fato de que a partícula está descrevendo a circunferência no plano xy com movimento tangencial (velocidade tangente à circunferência).
    2. O produto escalar entre velocidade e aceleração é \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t) =(-\sin t)(-\cos t)+(\cos t)(-\sin t)+1\cdot 0 =\sin t\cos t-\sin t\cos t=0.Assim \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t)=0 para todo t. Geometricamente isto significa que a aceleração é sempre perpendicular à velocidade — característica de movimento de rapidez constante (pois \dfrac{d}{dt}\|\mathbf{v}\|^2=2\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=0).
  • Em palavras amigáveis: a partícula gira ao redor do eixo z (movimento circular na projeção xy), por isso a velocidade tangencial é perpendicular ao raio no plano horizontal; ao mesmo tempo a velocidade tem uma componente vertical constante (devido ao +1 em v_z), por isso o vetor posição \mathbf{r}(t) não é sempre perpendicular à velocidade total — daí \mathbf{v}\cdot\mathbf{r}=t em vez de 0.

Resposta

(a) A curva é uma hélice circular de raio 1.
(b) \mathbf{v}(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;1),\quad \|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{2}.
(c) \mathbf{a}(t)=(-\cos t,\;-\sin t,\;0).
(d) \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{r}(t)=t (portanto não é 0 para todo t; é zero apenas em t=0). Observações geométricas verdadeiras: \mathbf{v}_{xy}(t)\cdot\mathbf{r}_{xy}(t)=0 (velocidade tangente à circunferência no plano xy) e \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t)=0 (aceleração perpendicular à velocidade, indicando rapidez constante).

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