A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo
é dada em centímetros por
, o qual
está em segundos.
A velocidade instantânea em
;
A velocidade instantânea em
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo
(em centímetros) como função do tempo (em segundos):
A pergunta é: qual é a velocidade instantânea em
?
Informações relevantes fornecidas:
- A função posição é
(unidade: centímetros). - A variável
mede o tempo em segundos. - Deve-se calcular a velocidade instantânea em
.
Passo 2
O que é velocidade instantânea e como calculá-la (aula rapidinha e direta).
- Definição: a velocidade instantânea
é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Formalmente,
- O que cada símbolo significa:
-
é a posição no instante . -
é um pequeno incremento de tempo. -
é a velocidade média no intervalo . - O limite
transforma a velocidade média em velocidade instantânea.
-
- Intuição simples: para funções de posição suaves,
é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico vs no ponto .
Passo 3
Aplicando a definição ao caso concreto (conta passo a passo).
- Primeiro calcule a diferença
usando a função dada:
- Então
- Divida por
:
- Agora aplique o limite
:
- Conclusão: a velocidade é constante e igual a
. Sobre unidades: posição estava em centímetros e tempo em segundos, logo a unidade de é centímetros por segundo, ou seja . Assim
Passo 4
Cálculo explícito em
e interpretação física.
- Como
é constante, basta avaliar em :
- Interpretação física: a partícula se move com velocidade constante de
no sentido positivo de (o sinal positivo indica isso). Movimento retilíneo uniforme.
Passo 5
Exemplo extra (reforço para fixar a ideia).
- Se a posição fosse
, então pela mesma conta . - Se a posição fosse
, aí a derivada é e a velocidade em seria . Isso mostra que para termos não lineares o procedimento é o mesmo: derivar e avaliar.
Força — você já chegou lá: linha reta na posição significa velocidade constante e o coeficiente de
é justamente a velocidade.