A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetros por x=9,75 +1,50 t \mathrm{~s}, o qual t está em segundos.
A velocidade instantânea em t=3,00 \mathrm{~s};

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo x (em centímetros) como função do tempo (em segundos):
x(t)=9,75+1,50\,t.
A pergunta é: qual é a velocidade instantânea em t=3,00\\ \mathrm{s}?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função posição é x(t)=9,75+1,50\,t (unidade: centímetros).
  • A variável t mede o tempo em segundos.
  • Deve-se calcular a velocidade instantânea em t=3,00\\ \mathrm{s}.

Passo 2

O que é velocidade instantânea e como calculá-la (aula rapidinha e direta).
  • Definição: a velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Formalmente,
v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}.
  • O que cada símbolo significa:
    • x(t) é a posição no instante t.
    • \Delta t é um pequeno incremento de tempo.
    • \dfrac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} é a velocidade média no intervalo [t,t+\Delta t].
    • O limite \Delta t\to 0 transforma a velocidade média em velocidade instantânea.
  • Intuição simples: para funções de posição suaves, v(t) é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico x vs t no ponto t.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso concreto (conta passo a passo).
  • Primeiro calcule a diferença x(t+\Delta t)-x(t) usando a função dada:
x(t+\Delta t)=9,75+1,50\,(t+\Delta t)=9,75+1,50\,t+1,50\,\Delta t.
  • Então
x(t+\Delta t)-x(t)=(9,75+1,50\,t+1,50\,\Delta t)-(9,75+1,50\,t)=1,50\,\Delta t.
  • Divida por \Delta t:
\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\frac{1,50\,\Delta t}{\Delta t}=1,50.
  • Agora aplique o limite \Delta t\to 0:
v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}1,50=1,50.
  • Conclusão: a velocidade é constante e igual a 1,50. Sobre unidades: posição estava em centímetros e tempo em segundos, logo a unidade de v é centímetros por segundo, ou seja \mathrm{cm/s}. Assim
v(t)=1,50\\ \mathrm{cm/s}\quad\text{para todo }t.

Passo 4

Cálculo explícito em t=3,00\\ \mathrm{s} e interpretação física.
  • Como v(t) é constante, basta avaliar em t=3,00:
v(3,00)=1,50\\ \mathrm{cm/s}.
  • Interpretação física: a partícula se move com velocidade constante de 1,50\\ \mathrm{cm/s} no sentido positivo de x (o sinal positivo indica isso). Movimento retilíneo uniforme.

Passo 5

Exemplo extra (reforço para fixar a ideia).
  • Se a posição fosse x(t)=5,00+2,00\,t, então pela mesma conta v(t)=2,00\\ \mathrm{cm/s}.
  • Se a posição fosse x(t)=3,00+4,00\,t^2, aí a derivada é v(t)=8,00\,t e a velocidade em t=3,00 seria v(3,00)=24,0\\ \mathrm{cm/s}. Isso mostra que para termos não lineares o procedimento é o mesmo: derivar e avaliar.
Força — você já chegou lá: linha reta na posição significa velocidade constante e o coeficiente de t é justamente a velocidade.

Resposta

v(3,00)=1,50\\ \mathrm{cm/s}

Exercícios relacionados