O potencial elétrico no ponto ( x, y ) do plano x y é V(x, y) volts e
V(x, y)=\frac{4}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}
Trace as curvas equipotenciais de V em 16,12,8,4,1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico no ponto (x,y) do plano xy:
V(x,y)=\frac{4}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}.
Pede-se traçar as curvas equipotenciais correspondentes aos valores
16,\;12,\;8,\;4,\;1,\;\tfrac{1}{2},\;\tfrac{1}{4}.
Informações importantes que o enunciado fornece e que precisamos lembrar:
  • O potencial está definido onde o denominador é positivo, ou seja, onde 9-x^{2}-y^{2}>0. Logo o domínio do potencial é o disco aberto de raio 3 centrado na origem: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<9\}.
  • Uma curva equipotencial para um valor V_{0} é o conjunto de pontos (x,y) tais que V(x,y)=V_{0}.
    Nada mais será resolvido neste passo; apenas identificamos o que é dado e o que foi pedido.

Passo 2

Vamos escrever a condição de nível (equipotencial) para um valor arbitrário V_{0}. Colocamos
\frac{4}{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}=V_{0}.
Para simplificar a exploração geométrica, introduzimos a variável radial
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
que é a distância do ponto (x,y) à origem. Como as equações só dependem de x^{2}+y^{2}, as equipotenciais serão curvas de raio constante (ou seja, círculos centrados na origem). Substituindo r na equação de nível temos
\frac{4}{\sqrt{9-r^{2}}}=V_{0}.

Passo 3

Agora isolamos a raiz e resolvemos passo a passo. Partimos de
\frac{4}{\sqrt{9-r^{2}}}=V_{0}.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{9-r^{2}} e dividindo por V_{0} (assumindo V_{0}>0, o que faz sentido fisicamente aqui), obtemos
\sqrt{9-r^{2}}=\frac{4}{V_{0}}.
Em seguida elevamos ambos os lados ao quadrado (atenção: ao quadrar não introduzimos soluções espúrias porque ambos os lados são não negativos no domínio considerado):
9-r^{2}=\frac{16}{V_{0}^{2}}.
Isolando r^{2} vem
r^{2}=9-\frac{16}{V_{0}^{2}}.
Portanto, a equação da curva equipotencial associada a V_{0} é
x^{2}+y^{2}=9-\frac{16}{V_{0}^{2}},
desde que o lado direito seja não negativo (para existir raio real) e observe-se x^{2}+y^{2}<9 (domínio).

Passo 4

Analisando a condição de existência: precisamos de
9-\frac{16}{V_{0}^{2}}\ge 0.
Isto dá
\frac{16}{V_{0}^{2}}\le 9\quad\Longrightarrow\quad V_{0}^{2}\ge\frac{16}{9}\quad\Longrightarrow\quad |V_{0}|\ge\frac{4}{3}.
Como o potencial dado é positivo no domínio, a condição de existência é
V_{0}\ge\frac{4}{3}.
Conclusão prática: só existem curvas equipotenciais para valores de V_{0} maiores ou iguais a \tfrac{4}{3}\approx 1{,}333. Valores pedidos menores que \tfrac{4}{3} (por exemplo 1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}) não produzem curvas no domínio, porque exigiriam r^{2}<0.

Passo 5

Agora calculamos explicitamente as curvas para cada valor pedido, usando a fórmula
x^{2}+y^{2}=9-\frac{16}{V_{0}^{2}}.
Faremos o cálculo exato quando possível e daremos aproximações decimais úteis para desenhar.
  • Para V_{0}=16:
x^{2}+y^{2}=9-\frac{16}{16^{2}}=9-\frac{16}{256}=9-\frac{1}{16}=\frac{143}{16}.
Raio: r=\sqrt{\tfrac{143}{16}}=\dfrac{\sqrt{143}}{4}\approx 2{,}9895.
  • Para V_{0}=12:
x^{2}+y^{2}=9-\frac{16}{12^{2}}=9-\frac{16}{144}=9-\frac{1}{9}=\frac{80}{9}.
Raio: r=\sqrt{\tfrac{80}{9}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}\approx 2{,}9814.
  • Para V_{0}=8:
x^{2}+y^{2}=9-\frac{16}{8^{2}}=9-\frac{16}{64}=9-\frac{1}{4}=\frac{35}{4}.
Raio: r=\sqrt{\tfrac{35}{4}}=\dfrac{\sqrt{35}}{2}\approx 2{,}9580.
  • Para V_{0}=4:
x^{2}+y^{2}=9-\frac{16}{4^{2}}=9-\frac{16}{16}=9-1=8.
Raio: r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}8284.
  • Para V_{0}=1:
x^{2}+y^{2}=9-\frac{16}{1^{2}}=9-16=-7,
o que é impossível (não existe raio real). Portanto não há curva equipotencial para V_{0}=1.
  • Para V_{0}=\tfrac{1}{2}:
x^{2}+y^{2}=9-\frac{16}{(\tfrac{1}{2})^{2}}=9-\frac{16}{\tfrac{1}{4}}=9-64=-55,
impossível. Não existe curva.
  • Para V_{0}=\tfrac{1}{4}:
x^{2}+y^{2}=9-\frac{16}{(\tfrac{1}{4})^{2}}=9-\frac{16}{\tfrac{1}{16}}=9-256=-247,
impossível. Não existe curva.

Passo 6

Interpretação geométrica e dica de desenho:
  • Todas as curvas equipotenciais existentes são círculos concêntricos com centro na origem, dados por x^{2}+y^{2}=R^{2} com R encontrado nos cálculos acima.
  • Valores de V_{0} maiores correspondem a círculos com raio mais próximo de 3. Observação: conforme r\to 3^{-} temos V\to+\infty, e no centro ( r=0) o potencial vale V(0,0)=\dfrac{4}{\sqrt{9}}=\dfrac{4}{3}.
  • Para desenhar: faça o círculo de raio 3 pontilhado (limite do domínio). Dentro dele, desenhe círculos concêntricos de raios aproximados 2{,}9895,\;2{,}9814,\;2{,}9580,\;2{,}8284 correspondentes respectivamente a V=16,12,8,4. Não desenhe curvas para V=1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4} porque não existem no domínio.

Resposta

V=16:\quad x^{2}+y^{2}=\dfrac{143}{16}
V=12:\quad x^{2}+y^{2}=\dfrac{80}{9}
V=8:\quad x^{2}+y^{2}=\dfrac{35}{4}
V=4:\quad x^{2}+y^{2}=8
V=1:\quad não existe curva equipotencial (valor abaixo de \tfrac{4}{3})
V=\tfrac{1}{2}:\quad não existe curva equipotencial (valor abaixo de \tfrac{4}{3})
V=\tfrac{1}{4}:\quad não existe curva equipotencial (valor abaixo de \tfrac{4}{3})

Exercícios relacionados