O potencial elétrico no ponto (
) do plano
é
volts e
Trace as curvas equipotenciais de
em
.
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico no ponto
do plano
:
Pede-se traçar as curvas equipotenciais correspondentes aos valores
Informações importantes que o enunciado fornece e que precisamos lembrar:
- O potencial está definido onde o denominador é positivo, ou seja, onde
. Logo o domínio do potencial é o disco aberto de raio centrado na origem: . - Uma curva equipotencial para um valor
é o conjunto de pontos tais que .
Nada mais será resolvido neste passo; apenas identificamos o que é dado e o que foi pedido.
Passo 2
Vamos escrever a condição de nível (equipotencial) para um valor arbitrário
. Colocamos
Para simplificar a exploração geométrica, introduzimos a variável radial
que é a distância do ponto
à origem. Como as equações só dependem de
, as equipotenciais serão curvas de raio constante (ou seja, círculos centrados na origem). Substituindo
na equação de nível temos
Passo 3
Agora isolamos a raiz e resolvemos passo a passo. Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
(assumindo
, o que faz sentido fisicamente aqui), obtemos
Em seguida elevamos ambos os lados ao quadrado (atenção: ao quadrar não introduzimos soluções espúrias porque ambos os lados são não negativos no domínio considerado):
Isolando
vem
Portanto, a equação da curva equipotencial associada a
é
desde que o lado direito seja não negativo (para existir raio real) e observe-se
(domínio).
Passo 4
Analisando a condição de existência: precisamos de
Isto dá
Como o potencial dado é positivo no domínio, a condição de existência é
Conclusão prática: só existem curvas equipotenciais para valores de
maiores ou iguais a
. Valores pedidos menores que
(por exemplo
) não produzem curvas no domínio, porque exigiriam
.
Passo 5
Agora calculamos explicitamente as curvas para cada valor pedido, usando a fórmula
Faremos o cálculo exato quando possível e daremos aproximações decimais úteis para desenhar.
- Para
:
Raio:
- Para
:
Raio:
- Para
:
Raio:
- Para
:
Raio:
- Para
:
o que é impossível (não existe raio real). Portanto não há curva equipotencial para
.
- Para
:
impossível. Não existe curva.
- Para
:
impossível. Não existe curva.
Passo 6
Interpretação geométrica e dica de desenho:
- Todas as curvas equipotenciais existentes são círculos concêntricos com centro na origem, dados por
com encontrado nos cálculos acima. - Valores de
maiores correspondem a círculos com raio mais próximo de . Observação: conforme temos , e no centro ( ) o potencial vale . - Para desenhar: faça o círculo de raio
pontilhado (limite do domínio). Dentro dele, desenhe círculos concêntricos de raios aproximados correspondentes respectivamente a . Não desenhe curvas para porque não existem no domínio.