A pressão pode ser obtida por:
Essas duas equações possuem consistência dimensional ?
\begin{aligned} & P=\rho \cdot g \cdot h \\\ & \text { ou } \\\ & P=\frac{F}{\text { área }} \end{aligned}á

Passo 1

O enunciado apresenta duas expressões para a pressão e pergunta se elas têm consistência dimensional:
\begin{aligned} & P=\rho\cdot g\cdot h,\\\ & \text{ou}\\\ & P=\dfrac{F}{\text{área}}. \end{aligned}á
Informações e definições dadas (peguei diretamente do enunciado):
  • \rho é a densidade de massa do fluido (massa por volume).
  • g é a aceleração da gravidade.
  • h é uma altura (comprimento).
  • F é uma força.
  • \text{área}á é uma área (superfície), normalmente em duas dimensões.
O que se pede: verificar se as duas expressões são dimensionalmente consistentes, isto é, se ambas representam grandezas com as mesmas dimensões fundamentais.

Passo 2

O que é consistência dimensional (mini-aula curta e prática).
  • Dimensão é a natureza física de uma grandeza expressa em termos das dimensões fundamentais: massa, comprimento e tempo. Usaremos M para massa, L para comprimento e T para tempo.
  • Uma equação física é dimensionalmente consistente se os dois lados têm a mesma combinação de M, L e T.
  • Exemplo simples: velocidade tem dimensão [v]=L\,T^{-1} porque é comprimento dividido por tempo.
    Agora vamos aplicar isso às duas fórmulas da pressão.

Passo 3

Dimensões das quantidades que aparecem (explicando cada uma):
  • Densidade de massa \rho: é massa por volume. Volume tem dimensão L^3, logo
[\rho]=\dfrac{M}{L^3}=M\,L^{-3}.
  • Aceleração g: é velocidade por tempo, ou força por massa; a dimensão clássica é
[g]=L\,T^{-2}.
  • Altura h: é comprimento, então
[h]=L.

Passo 4

Dimensão do lado direito em \;P=\rho\cdot g\cdot h\;.
Multiplicando as dimensões:
[\rho\cdot g\cdot h]=\bigl(M\,L^{-3}\bigr)\cdot\bigl(L\,T^{-2}\bigr)\cdot\bigl(L\bigr) = M\,L^{-1}\,T^{-2}.
Portanto a expressão \rho g h tem dimensão M\,L^{-1}\,T^{-2}.

Passo 5

Dimensões das quantidades na segunda fórmula (explicando cada uma):
  • Força F: pela segunda lei de Newton F=ma, massa vezes aceleração, então
[F]=M\cdot L\,T^{-2}=M\,L\,T^{-2}.
  • Área: dimensão de comprimento ao quadrado,
[\text{área}]=L^{2}.á
Agora a dimensão do quociente.

Passo 6

Dimensão do lado direito em \;P=\dfrac{F}{\text{área}}\;á.
\left[\dfrac{F}{\text{área}}\right]=\dfrac{M\,L\,T^{-2}}{L^{2}}=M\,L^{-1}\,T^{-2}.á
Portanto \dfrac{F}{\text{área}}á também tem dimensão M\,L^{-1}\,T^{-2}.

Passo 7

Comparação final e interpretação prática.
  • Ambos os lados têm a mesma dimensão:
M\,L^{-1}\,T^{-2}.
  • Essa dimensão corresponde à dimensão de pressão. Em unidades SI isso é \mathrm{kg\;m^{-1}\;s^{-2}}, que é equivalente ao Pascal:
1\\ \text{Pa}=1\\ \mathrm{N\;m^{-2}}=1\\ \mathrm{kg\;m^{-1}\;s^{-2}}.
  • Interpretação física: a fórmula \;P=\rho g h\; dá a pressão hidrostática devida ao peso de uma coluna de fluido de altura h, e \;P=F/\text{área}\;á define pressão como força por unidade de área. São duas expressões compatíveis e consistentes entre si.

Resposta

Sim. Ambas são dimensionalmente consistentes: ambas têm dimensão M\,L^{-1}\,T^{-2} (unidade SI: \mathrm{Pa}=\mathrm{kg\;m^{-1}\;s^{-2}}).

Exercícios relacionados