A pressão pode ser obtida por:
Essas duas equações possuem consistência dimensional ?
Passo 1
O enunciado apresenta duas expressões para a pressão e pergunta se elas têm consistência dimensional:
Informações e definições dadas (peguei diretamente do enunciado):
-
é a densidade de massa do fluido (massa por volume). -
é a aceleração da gravidade. -
é uma altura (comprimento). -
é uma força. -
é uma área (superfície), normalmente em duas dimensões.
O que se pede: verificar se as duas expressões são dimensionalmente consistentes, isto é, se ambas representam grandezas com as mesmas dimensões fundamentais.
Passo 2
O que é consistência dimensional (mini-aula curta e prática).
- Dimensão é a natureza física de uma grandeza expressa em termos das dimensões fundamentais: massa, comprimento e tempo. Usaremos
para massa, para comprimento e para tempo. - Uma equação física é dimensionalmente consistente se os dois lados têm a mesma combinação de
, e . - Exemplo simples: velocidade tem dimensão
porque é comprimento dividido por tempo.
Agora vamos aplicar isso às duas fórmulas da pressão.
Passo 3
Dimensões das quantidades que aparecem (explicando cada uma):
- Densidade de massa
: é massa por volume. Volume tem dimensão , logo
- Aceleração
: é velocidade por tempo, ou força por massa; a dimensão clássica é
- Altura
: é comprimento, então
Passo 4
Dimensão do lado direito em
.
Multiplicando as dimensões:
Multiplicando as dimensões:
Portanto a expressão
tem dimensão
.
Passo 5
Dimensões das quantidades na segunda fórmula (explicando cada uma):
- Força
: pela segunda lei de Newton , massa vezes aceleração, então
- Área: dimensão de comprimento ao quadrado,
Agora a dimensão do quociente.
Passo 6
Dimensão do lado direito em
.
Portanto
também tem dimensão
.
Passo 7
Comparação final e interpretação prática.
- Ambos os lados têm a mesma dimensão:
- Essa dimensão corresponde à dimensão de pressão. Em unidades SI isso é
, que é equivalente ao Pascal:
- Interpretação física: a fórmula
dá a pressão hidrostática devida ao peso de uma coluna de fluido de altura , e define pressão como força por unidade de área. São duas expressões compatíveis e consistentes entre si.
Resposta
Sim. Ambas são dimensionalmente consistentes: ambas têm dimensão
(unidade SI:
).