A pressão de vapor do naftaleno ( M=128,1705 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1} ) é de 0,133 \mathrm{mmHg} a 27,0{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a perda de massa de uma célula de Knudsen contendo naftaleno e possuindo um orifício circular de 0,250 \mathrm{~mm} de raio, em um período de 2,50 \mathrm{~h}, quando colocada em uma câmara previamente evacuada.

Passo 1

O enunciado pede a perda de massa de uma célula de Knudsen contendo naftaleno que, ao ser colocada numa câmara evacuada, perde vapor pelo orifício. Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
  • Massa molar: M=128{,}1705\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Pressão de vapor a 27{,}0^\circ\mathrm{C}: p=0{,}133\\ \mathrm{mmHg}.
  • Raio do orifício (circular): r=0{,}250\\ \mathrm{mm}.
  • Tempo de perda: t=2{,}50\\ \mathrm{h}.
  • Condição da câmara: previamente evacuada (ou seja, o escoamento pelo orifício é do vapor para vácuo).
O que se pede: calcular a perda de massa total (em unidades práticas) durante t.

Passo 2

Qual fórmula usar — ideia física e dedução passo a passo (aqui explico a teoria do princípio que governa o problema).
Quando um gás à pressão p está em contato com um pequeno orifício que dá para uma câmara a vácuo, o regime é de escoamento molecular (efeito Knudsen / efusão). A teoria cinética dos gases fornece a taxa de passagem de moléculas pelo orifício a partir do fluxo de moléculas que atingem a superfície.
  1. Densidade numérica n (número de moléculas por volume) do vapor em equilíbrio com a pressão p é dada por
n=\frac{p}{k_B T},
onde k_B é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta.
  1. A velocidade média das moléculas (média de Maxwell) é
\overline{v}=\sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}},
onde m é a massa de uma molécula (em kg).
  1. A taxa de colisões por unidade de área que atravessam um orifício para o vácuo (número de moléculas por unidade de área por unidade de tempo) é
j=\frac{1}{4}\,n\,\overline{v}.
Substituindo n e \overline{v}:
j=\frac{1}{4}\frac{p}{k_B T}\sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}} = \frac{p}{\sqrt{2\pi m k_B T}}.
Esse j tem unidades de número de moléculas por área por tempo.
  1. Multiplicando por área A do orifício, obtém-se o número de moléculas por tempo que saem:
\dot{N}=A\,\frac{p}{\sqrt{2\pi m k_B T}}.
  1. É conveniente trabalhar em mols em vez de moléculas. Usando m=M/N_A e k_B=R/N_A (onde M é massa molar e R é a constante universal dos gases), a expressão para a vazão em mol/s fica mais simples:
\dot{n}=\frac{\dot{N}}{N_A}=\frac{A\,p}{\sqrt{2\pi M R T}}.
Aqui:
  • \dot{n} é a vazão em mol/s,
  • A é a área do orifício (m^2),
  • p é a pressão (Pa),
  • M é a massa molar em kg/mol,
  • R é 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},
  • T é a temperatura em K.
  1. A massa por tempo (kg/s) é \dot{m}=\dot{n}\,M. A perda de massa total em tempo t é m_{\text{perda}}=\dot{n}\,M\,t (ou multiplicar \dot{n} t pelo M em g/mol se quiser resultado em gramas).
Resumo prático da fórmula que vamos usar:
\dot{n}=\frac{A\,p}{\sqrt{2\pi M R T}},\qquad m_{\text{perda}}=\dot{n}\,M\,t.

Passo 3

Converto todos os dados para unidades do SI e calculo a área do orifício.
  1. Raio: r=0{,}250\\ \mathrm{mm}=0{,}250\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=2{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  2. Área do círculo:
A=\pi r^2=\pi(2{,}50\times10^{-4})^2 =\pi(6{,}25\times10^{-8}) \approx 1{,}9634954\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Converto a pressão para pascal e a temperatura para kelvin, e a massa molar para kg/mol; também o tempo para segundos.
  1. Pressão: p=0{,}133\\ \mathrm{mmHg}.
    Usando 1\\ \mathrm{mmHg}=133{,}322387415\\ \mathrm{Pa},
p=0{,}133\times133{,}322387415\\ \mathrm{Pa} \approx 17{,}7319\\ \mathrm{Pa}.
  1. Temperatura: T=27{,}0^\circ\mathrm{C}=27{,}0+273{,}15=300{,}15\\ \mathrm{K}.
  2. Massa molar: M=128{,}1705\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}=0{,}1281705\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}}.
  3. Tempo: t=2{,}50\\ \mathrm{h}=2{,}50\times3600\\ \mathrm{s}=9000\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calculo o denominador \sqrt{2\pi M R T} que aparece na expressão da vazão molar.
  1. Primeiro calculei M R T:
MRT=(0{,}1281705)\times(8{,}314462618)\times(300{,}15)\approx 319{,}8605\\ (\text{unidades}).
  1. Em seguida:
2\pi M R T \approx 2\pi\times319{,}8605 \approx 2009{,}7432.
  1. Portanto
\sqrt{2\pi M R T}\approx \sqrt{2009{,}7432}\approx 44{,}833.

Passo 6

Calculo a vazão molar \dot{n} usando
\dot{n}=\frac{A\,p}{\sqrt{2\pi M R T}}.
Substituindo os valores:
A\,p \approx (1{,}9634954\times10^{-7})\times(17{,}7319)\approx 3{,}48165\times10^{-6},
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\dot{n}\approx\frac{3{,}48165\times10^{-6}}{44{,}833}\approx 7{,}766\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}.
(Expliquei cada multiplicação para que dê para reproduzir sem calculadora científica: calculei A e p separadamente e dividi pelo valor da raiz obtida.)

Passo 7

Calculo o número total de mols perdidos em t=9000\\ \mathrm{s}:
n_{\text{tot}}=\dot{n}\,t\approx (7{,}766\times10^{-8})\times9000 \approx 6{,}9894\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}.

Passo 8

Converto para massa perdida. Uso M=128{,}1705\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} para obter massa em gramas:
m_{\text{perda}}=n_{\text{tot}}\times M \approx (6{,}9894\times10^{-4})\times128{,}1705 \approx 0{,}08958\\ \mathrm{g}.
Em outras unidades:
m_{\text{perda}}\approx 0{,}0896\\ \mathrm{g}=89{,}6\\ \mathrm{mg}=8{,}96\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}.

Passo 9

Interpretação e checagem rápida: o resultado é pequeno (algumas décimas de grama em 2,5 h) o que é razoável para um líquido com baixa pressão de vapor e um orifício tão pequeno; a ordem de grandeza faz sentido fisicamente.

Resposta

m_{\text{perda}}\approx 0{,}0896\\ \mathrm{g} (ou 89{,}6\\ \mathrm{mg}, isto é 8{,}96\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}).

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