A pressão de vapor do naftaleno (
) é de
a
. Calcule a perda de massa de uma célula de Knudsen contendo naftaleno e possuindo um orifício circular de
de raio, em um período de
, quando colocada em uma câmara previamente evacuada.
Passo 1
O enunciado pede a perda de massa de uma célula de Knudsen contendo naftaleno que, ao ser colocada numa câmara evacuada, perde vapor pelo orifício. Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
- Massa molar:
. - Pressão de vapor a
: . - Raio do orifício (circular):
. - Tempo de perda:
. - Condição da câmara: previamente evacuada (ou seja, o escoamento pelo orifício é do vapor para vácuo).
O que se pede: calcular a perda de massa total (em unidades práticas) durante
.
Passo 2
Qual fórmula usar — ideia física e dedução passo a passo (aqui explico a teoria do princípio que governa o problema).
Quando um gás à pressão
está em contato com um pequeno orifício que dá para uma câmara a vácuo, o regime é de escoamento molecular (efeito Knudsen / efusão). A teoria cinética dos gases fornece a taxa de passagem de moléculas pelo orifício a partir do fluxo de moléculas que atingem a superfície.
- Densidade numérica
(número de moléculas por volume) do vapor em equilíbrio com a pressão é dada por
onde
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura absoluta.
- A velocidade média das moléculas (média de Maxwell) é
onde
é a massa de uma molécula (em kg).
- A taxa de colisões por unidade de área que atravessam um orifício para o vácuo (número de moléculas por unidade de área por unidade de tempo) é
Substituindo
e
:
Esse
tem unidades de número de moléculas por área por tempo.
- Multiplicando por área
do orifício, obtém-se o número de moléculas por tempo que saem:
- É conveniente trabalhar em mols em vez de moléculas. Usando
e (onde é massa molar e é a constante universal dos gases), a expressão para a vazão em mol/s fica mais simples:
Aqui:
-
é a vazão em mol/s, -
é a área do orifício (m^2), -
é a pressão (Pa), -
é a massa molar em kg/mol, -
é , -
é a temperatura em K.
- A massa por tempo (kg/s) é
. A perda de massa total em tempo é (ou multiplicar pelo em g/mol se quiser resultado em gramas).
Resumo prático da fórmula que vamos usar:
Passo 3
Converto todos os dados para unidades do SI e calculo a área do orifício.
-
Raio:
-
Área do círculo:
Passo 4
Converto a pressão para pascal e a temperatura para kelvin, e a massa molar para kg/mol; também o tempo para segundos.
- Pressão:
.
Usando,
-
Temperatura:
-
Massa molar:
-
Tempo:
Passo 5
Calculo o denominador
que aparece na expressão da vazão molar.
- Primeiro calculei
:
- Em seguida:
- Portanto
Passo 6
Calculo a vazão molar
usando
Substituindo os valores:
logo
(Expliquei cada multiplicação para que dê para reproduzir sem calculadora científica: calculei
e
separadamente e dividi pelo valor da raiz obtida.)
Passo 7
Calculo o número total de mols perdidos em
:
Passo 8
Converto para massa perdida. Uso
para obter massa em gramas:
Em outras unidades:
Passo 9
Interpretação e checagem rápida: o resultado é pequeno (algumas décimas de grama em 2,5 h) o que é razoável para um líquido com baixa pressão de vapor e um orifício tão pequeno; a ordem de grandeza faz sentido fisicamente.