Uma antena parabólica reflete sinais para o ponto focal da antena. Um projetista de antenas analisou sinais transmitidos para uma antena parabólica e obtiveram a função densidade de probabilidade f(x)=c\left(1-\frac{1}{16} x^{2}\right) para 0<x<3, em que x é a distância (em metros) a partir do centroide da superfície da antena até um ponto de reflexão por onde o sinal chega. Calcule a média e a variância.
E(X)=
V(X)=

Passo 1

O enunciado dá uma densidade de probabilidade contínua definida por
f(x) = c\Bigl(1 - \frac{x^2}{16}\Bigr),\quad 0 < x < 3
e pede a média \mathbb E(X) e a variância \mathrm{Var}(X). Para resolver, precisamos determinar a constante de normalização c, depois calcular
\mathbb E(X) = \int_{0}^{3} x\,f(x)\,dx
e
\mathbb E(X^2) = \int_{0}^{3} x^2\,f(x)\,dx
e usar
\mathrm{Var}(X) = \mathbb E(X^2) - \bigl[\mathbb E(X)\bigr]^2.

Passo 2

Para normalizar f, exigimos
\int_{0}^{3} f(x)\,dx = 1
ou seja
c \int_{0}^{3} \Bigl(1 - \frac{x^2}{16}\Bigr)dx = 1.
Calculemos a integral interna:
\int_{0}^{3} \Bigl(1 - \frac{x^2}{16}\Bigr)dx = \Bigl[x - \frac{x^3}{48}\Bigr]_{0}^{3} = 3 - \frac{27}{48} = 3 - \frac{9}{16} = \frac{39}{16}.
Logo
c \,\frac{39}{16} = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{16}{39}.

Passo 3

Agora calculemos a média:
\mathbb E(X) = \int_{0}^{3} x\,f(x)\,dx = \frac{16}{39}\int_{0}^{3} \Bigl(x - \frac{x^3}{16}\Bigr)dx.
A integral é
\int_{0}^{3} \Bigl(x - \frac{x^3}{16}\Bigr)dx = \Bigl[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{64}\Bigr]_{0}^{3} = \frac{9}{2} - \frac{81}{64} = \frac{207}{64}.
Portanto
\mathbb E(X) = \frac{16}{39}\cdot\frac{207}{64} = \frac{69}{52} \approx 1{,}3269\\ (\text{m}).

Passo 4

Para a variância precisamos de \mathbb E(X^2):
\mathbb E(X^2) = \int_{0}^{3} x^2\,f(x)\,dx = \frac{16}{39}\int_{0}^{3}\Bigl(x^2 - \frac{x^4}{16}\Bigr)dx.
A integral é
\int_{0}^{3}\Bigl(x^2 - \frac{x^4}{16}\Bigr)dx = \Bigl[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{80}\Bigr]_{0}^{3} = 9 - \frac{243}{80} = \frac{477}{80}.
Logo
\mathbb E(X^2) = \frac{16}{39}\cdot\frac{477}{80} = \frac{159}{65} \approx 2{,}4462\\ (\text{m}^2).

Passo 5

Finalmente,
\mathrm{Var}(X) = \mathbb E(X^2) - \bigl[\mathbb E(X)\bigr]^2 = \frac{159}{65} - \Bigl(\frac{69}{52}\Bigr)^2 = \frac{9267}{13520} \approx 0{,}6857\\ (\text{m}^2).

Resposta

E(X) = \frac{69}{52} \approx 1{,}3269 \quad\text{e}\quad V(X) = \frac{9267}{13520} \approx 0{,}6857.