Uma antena parabólica reflete sinais para o ponto focal da antena. Um projetista de antenas analisou sinais transmitidos para uma antena parabólica e obtiveram a função densidade de probabilidade
para
, em que
é a distância (em metros) a partir do centroide da superfície da antena até um ponto de reflexão por onde o sinal chega. Calcule a média e a variância.
Passo 1
O enunciado dá uma densidade de probabilidade contínua definida por
e pede a média
e a variância
. Para resolver, precisamos determinar a constante de normalização
, depois calcular
e
e usar
Passo 2
Para normalizar
, exigimos
ou seja
Calculemos a integral interna:
Logo
Passo 3
Agora calculemos a média:
A integral é
Portanto
Passo 4
Para a variância precisamos de
:
A integral é
Logo
Passo 5
Finalmente,