A probabilidade de uma máquina produzir uma peça perfeita é 80 \%. Suponha que a classificação de uma peça seja independente da classificação de qualquer outra peça. Em 800 peças fabricadas, qual é a probabilidade da proporção de peças defeituosas ser maior que 18,75 \% ? (Resposta: \cong 0,8 )

Passo 1

O problema dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Probabilidade de uma peça ser perfeita: p=0,8.
  • As classificações são independentes entre as peças.
  • Número de peças produzidas: n=800.
  • Queremos a probabilidade de a proporção de peças defeituosas ser maior que 18{,}75\%.
O que exatamente é pedido:
  • Calcular \Pr\!\left(\text{proporção de defeituosas} > 0{,}1875\right)çã.
Informações relevantes reunidas:
  • Probabilidade de defeito por peça: 1-p=0{,}2.
  • Limite de proporção: 0{,}1875.
  • Tamanho da amostra: n=800.

Passo 2

Modelagem do problema (o que vamos contar): seja X o número de peças defeituosas entre as n peças. Como cada peça é classificada de forma independente e a probabilidade de defeito em cada peça é 1-p, podemos modelar X por uma distribuição binomial:
X \sim \operatorname{Bin}\!\bigl(n=800,\;p_{\text{defeito}}=0{,}2\bigr).
Aqui X conta quantas peças defectuosas aparecem em 800 tentativas, com probabilidade de sucesso (defeito) 0{,}2 em cada tentativa.

Passo 3

Relacionar proporção com X: a proporção de defeituosas é \dfrac{X}{n}. A condição pedido é
\frac{X}{800} > 0{,}1875.
Multiplicando por 800 obtemos uma condição em X:
X > 800\cdot 0{,}1875 = 150.
Como X é inteiro, isso equivale a
X \ge 151.
Portanto a probabilidade pedida é
\Pr\!\left(\frac{X}{800} > 0{,}1875\right)=\Pr(X \ge 151).

Passo 4

Cálculo de média e desvio padrão da binomial (fórmulas e interpretação): para X\sim\operatorname{Bin}(n,p),
  • a média (esperança) é \mathbb{E}[X]=np,
  • a variância é \operatorname{Var}(X)=np(1-p),
  • o desvio padrão é \sigma=\sqrt{np(1-p)}.
Aqui:
\mathbb{E}[X]=800\cdot 0{,}2 = 160,
\operatorname{Var}(X)=800\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8 = 128,
\sigma=\sqrt{128}\approx 11{,}3137.
Esses valores dizem que, em média, espera-se 160 defeituosas e a dispersão típica é cerca de 11{,}31 peças.

Passo 5

Aproximação normal da binomial (por que e como): como n é grande e np e n(1-p) são ambos bem maiores que 5 (aqui np=160 e n(1-p)=640), a distribuição de X pode ser aproximada por uma normal com mesma média e variância:
X \approx N\bigl(\mu=160,\;\sigma^2=128\bigr).
Quando aproximamos uma variável discreta por uma contínua, usamos a correção de continuidade para melhorar a aproximação. Para \Pr(X \ge 151) aplicamos a correção movendo o limite inferior em -0{,}5:
\Pr(X \ge 151) \approx \Pr\bigl(X_{\text{normal}} \ge 150{,}5\bigr).

Passo 6

Transformar em variável normal padrão Z e calcular o z-score: para X_{\text{normal}}\sim N(160,\,\sigma^2), definimos
Z=\frac{X_{\text{normal}}-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).
Assim
\Pr\bigl(X_{\text{normal}} \ge 150{,}5\bigr)=\Pr\!\left(Z \ge \frac{150{,}5-160}{\sqrt{128}}\right).
Calcule o numerador e o quociente:
150{,}5-160 = -9{,}5,
\frac{-9{,}5}{\sqrt{128}} \approx \frac{-9{,}5}{11{,}3137}\approx -0{,}8391.
Portanto
\Pr(X \ge 151) \approx \Pr(Z \ge -0{,}8391).

Passo 7

Usar a simetria da normal padrão para obter a probabilidade: para a normal padrão temos \Pr(Z \ge -a)=\Pr(Z \le a) porque a densidade é simétrica. Então
\Pr(Z \ge -0{,}8391)=\Pr(Z \le 0{,}8391).
Consultando a tabela da normal padrão (ou calculadora), um valor aproximado é
\Pr(Z \le 0{,}8391)\approx 0{,}7991.
Portanto
\Pr\!\left(\frac{X}{800} > 0{,}1875\right)\approx 0{,}7991\approx 0{,}8.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: o resultado significa que existe cerca de 79{,}9\% de chance de a proporção de peças defeituosas exceder 18{,}75\%. Isso faz sentido intuitivo porque a média é 20\% defeituosas ( 160 em 800), e pedir mais do que 18{,}75\% é pedir um valor um pouco abaixo da média, por isso a probabilidade é alta (próxima de 0{,}8).

Resposta

0{,}799

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