A probabilidade de uma máquina produzir uma peça perfeita é
. Suponha que a classificação de uma peça seja independente da classificação de qualquer outra peça. Em 800 peças fabricadas, qual é a probabilidade da proporção de peças defeituosas ser maior que
? (Resposta:
)
Passo 1
O problema dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Probabilidade de uma peça ser perfeita:
. - As classificações são independentes entre as peças.
- Número de peças produzidas:
. - Queremos a probabilidade de a proporção de peças defeituosas ser maior que
.
O que exatamente é pedido:
- Calcular
.
Informações relevantes reunidas:
- Probabilidade de defeito por peça:
. - Limite de proporção:
. - Tamanho da amostra:
.
Passo 2
Modelagem do problema (o que vamos contar): seja
o número de peças defeituosas entre as
peças. Como cada peça é classificada de forma independente e a probabilidade de defeito em cada peça é
, podemos modelar
por uma distribuição binomial:
Aqui
conta quantas peças defectuosas aparecem em
tentativas, com probabilidade de sucesso (defeito)
em cada tentativa.
Passo 3
Relacionar proporção com
: a proporção de defeituosas é
. A condição pedido é
Multiplicando por
obtemos uma condição em
:
Como
é inteiro, isso equivale a
Portanto a probabilidade pedida é
Passo 4
Cálculo de média e desvio padrão da binomial (fórmulas e interpretação): para
,
- a média (esperança) é
, - a variância é
, - o desvio padrão é
.
Aqui:
Esses valores dizem que, em média, espera-se
defeituosas e a dispersão típica é cerca de
peças.
Passo 5
Aproximação normal da binomial (por que e como): como
é grande e
e
são ambos bem maiores que
(aqui
e
), a distribuição de
pode ser aproximada por uma normal com mesma média e variância:
Quando aproximamos uma variável discreta por uma contínua, usamos a correção de continuidade para melhorar a aproximação. Para
aplicamos a correção movendo o limite inferior em
:
Passo 6
Transformar em variável normal padrão
e calcular o
-score: para
, definimos
Assim
Calcule o numerador e o quociente:
Portanto
Passo 7
Usar a simetria da normal padrão para obter a probabilidade: para a normal padrão temos
porque a densidade é simétrica. Então
Consultando a tabela da normal padrão (ou calculadora), um valor aproximado é
Portanto
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: o resultado significa que existe cerca de
de chance de a proporção de peças defeituosas exceder
. Isso faz sentido intuitivo porque a média é
defeituosas (
em
), e pedir mais do que
é pedir um valor um pouco abaixo da média, por isso a probabilidade é alta (próxima de
).