A Probabilidade na Mega-Sena. No jogo da Mega-Sena, um apostador deve escolher entre 6 a 15 números de um total de 60 disponíveis (numerados de 1 a 60 ). No sorteio, são extraídos 6 números distintos.
(a) Calcule o número total de combinações possíveis para o sorteio de 6 números.
(b) Qual é a probabilidade de um apostador que faz um jogo simples (6 números) acertar a “Sena”(os 6 números sorteados)?
(c) Se um apostador marcar 10 números em um único volante, qual a probabilidade de ele acertar a Sena? Quantas vezes essa probabilidade é maior do que a de uma aposta simples?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • 60 números disponíveis (de 1 a 60).
  • No sorteio são extraídos 6 números distintos.
  • Um apostador pode marcar entre 6 e 15 números; o jogo simples é marcar exatamente 6.
Perguntas:
(a) Calcular o número total de combinações possíveis para o sorteio de 6 números.
(b) Qual é a probabilidade de um apostador que faz um jogo simples (marcando 6 números) acertar os 6 números sorteados (a “Sena”)?
(c) Se um apostador marcar 10 números num único volante, qual é a probabilidade de ele acertar a Sena? Quantas vezes essa probabilidade é maior do que a de uma aposta simples?

Passo 2

Vamos decidir a ideia matemática: quando a ordem dos itens não importa e todos os itens são distintos, usamos combinações. A combinação que escolhe k objetos entre n é dada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “n fatorial”) é o produto n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Por exemplo, 6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720.
Explicação rápida e intuitiva: \binom{n}{k} conta quantas subcoleções de tamanho k existem em um conjunto de n elementos, sem levar em conta a ordem.

Passo 3

(a) Número total de combinações possíveis no sorteio (escolher 6 de 60):
\binom{60}{6}=\frac{60!}{6!\,54!}.
Para calcular de forma prática, cancele os fatores 54! e escreva como produto reduzido:
\binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Calcule passo a passo o numerador e divida pelo denominador 6!=720:
60\cdot59=3540,
3540\cdot58=205320,
205320\cdot57=11\,703\,240,
11\,703\,240\cdot56=655\,381\,440,
655\,381\,440\cdot55=36\,045\,979\,200.
Agora divida por 720:
\frac{36\,045\,979\,200}{720}=50\,063\,860.
Portanto
\binom{60}{6}=50\,063\,860.

Passo 4

(b) Para um jogo simples (marcando exatamente 6 números) a aposta corresponde a exatamente uma das \binom{60}{6} combinações possíveis. Assim a probabilidade de acertar os 6 números é
P_{\text{6 números}}=\frac{1}{\binom{60}{6}}=\frac{1}{50\,063\,860}.ú
Como decimal aproximado:
\frac{1}{50\,063\,860}\approx0,00000001998.
(ou seja, cerca de 1,998\times10^{-8}.)

Passo 5

(c) Se o apostador marca 10 números, o volante cobrirá todas as combinações de 6 números que podem ser formadas a partir desses 10 números. O número dessas combinações é
\binom{10}{6}=\frac{10!}{6!4!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210.
Isso significa que o volante com 10 números equivale a 210 apostas simples diferentes.

Passo 6

Probabilidade de acertar a Sena marcando 10 números:
P_{\text{10 números}}=\frac{\binom{10}{6}}{\binom{60}{6}}=\frac{210}{50\,063\,860}.ú
Como decimal aproximado:
\frac{210}{50\,063\,860}\approx0,000004196.

Passo 7

Quantas vezes essa probabilidade é maior do que a de uma aposta simples? Compare:
\frac{P_{\text{10 números}}}{P_{\text{6 números}}}=\frac{\dfrac{210}{\binom{60}{6}}}{\dfrac{1}{\binom{60}{6}}}=210.úú
Interpretação simples: o jogo com 10 números equivale a 210 jogos simples distintos, então a probabilidade é 210 vezes maior.

Passo 8

Recapitulando de forma direta e prática: a técnica usada foi contar quantas subcoleções de tamanho 6 existem (combinações), calcular o total \binom{60}{6}, e depois ver quantas combinações o bilhete do apostador cobre (uma, se marcar 6; \binom{10}{6}, se marcar 10). Isso é exatamente como resolver esse tipo de problema na prova: reconhecer que é um problema de combinações e aplicar a fórmula \binom{n}{k}.

Resposta

(a) \binom{60}{6}=50\,063\,860
(b) \dfrac{1}{50\,063\,860}\approx0,00000001998
(c) \dfrac{\binom{10}{6}}{\binom{60}{6}}=\dfrac{210}{50\,063\,860}\approx0,000004196; essa probabilidade é 210 vezes maior que a de uma aposta simples.

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