A Probabilidade na Mega-Sena. No jogo da Mega-Sena, um apostador deve escolher entre 6 a 15 números de um total de 60 disponíveis (numerados de 1 a 60 ). No sorteio, são extraídos 6 números distintos.
(a) Calcule o número total de combinações possíveis para o sorteio de 6 números.
(b) Qual é a probabilidade de um apostador que faz um jogo simples (6 números) acertar a “Sena”(os 6 números sorteados)?
(c) Se um apostador marcar 10 números em um único volante, qual a probabilidade de ele acertar a Sena? Quantas vezes essa probabilidade é maior do que a de uma aposta simples?
(a) Calcule o número total de combinações possíveis para o sorteio de 6 números.
(b) Qual é a probabilidade de um apostador que faz um jogo simples (6 números) acertar a “Sena”(os 6 números sorteados)?
(c) Se um apostador marcar 10 números em um único volante, qual a probabilidade de ele acertar a Sena? Quantas vezes essa probabilidade é maior do que a de uma aposta simples?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
- Há
números disponíveis (de a ). - No sorteio são extraídos
números distintos. - Um apostador pode marcar entre
e números; o jogo simples é marcar exatamente .
Perguntas:
(a) Calcular o número total de combinações possíveis para o sorteio de números.
(b) Qual é a probabilidade de um apostador que faz um jogo simples (marcando números) acertar os
números sorteados (a “Sena”)?
(c) Se um apostador marcar números num único volante, qual é a probabilidade de ele acertar a Sena? Quantas vezes essa probabilidade é maior do que a de uma aposta simples?
(a) Calcular o número total de combinações possíveis para o sorteio de
(b) Qual é a probabilidade de um apostador que faz um jogo simples (marcando
(c) Se um apostador marcar
Passo 2
Vamos decidir a ideia matemática: quando a ordem dos itens não importa e todos os itens são distintos, usamos combinações. A combinação que escolhe
objetos entre
é dada por
onde
(lê-se “n fatorial”) é o produto
. Por exemplo,
.
Explicação rápida e intuitiva: conta quantas subcoleções de tamanho
existem em um conjunto de
elementos, sem levar em conta a ordem.
Explicação rápida e intuitiva:
Passo 3
(a) Número total de combinações possíveis no sorteio (escolher
de
):
Para calcular de forma prática, cancele os fatores
e escreva como produto reduzido:
Calcule passo a passo o numerador e divida pelo denominador
:
Agora divida por
:
Portanto
Passo 4
(b) Para um jogo simples (marcando exatamente
números) a aposta corresponde a exatamente uma das
combinações possíveis. Assim a probabilidade de acertar os
números é
Como decimal aproximado:
(ou seja, cerca de
.)
Passo 5
(c) Se o apostador marca
números, o volante cobrirá todas as combinações de
números que podem ser formadas a partir desses
números. O número dessas combinações é
Isso significa que o volante com
números equivale a
apostas simples diferentes.
Passo 6
Probabilidade de acertar a Sena marcando
números:
Como decimal aproximado:
Passo 7
Quantas vezes essa probabilidade é maior do que a de uma aposta simples? Compare:
Interpretação simples: o jogo com
números equivale a
jogos simples distintos, então a probabilidade é
vezes maior.
Passo 8
Recapitulando de forma direta e prática: a técnica usada foi contar quantas subcoleções de tamanho
existem (combinações), calcular o total
, e depois ver quantas combinações o bilhete do apostador cobre (uma, se marcar
;
, se marcar
). Isso é exatamente como resolver esse tipo de problema na prova: reconhecer que é um problema de combinações e aplicar a fórmula
.
Resposta
(a)
(b)
(c) ; essa probabilidade é
vezes maior que a de uma aposta simples.
(b)
(c)