Problema 04) Um cilindro isolante muito longo de raio R e uma densidade de cargas dada por
onde
,
e
são constantes positivas e r é a distância ao eixo do cilindro.
Use a lei de Gauss para determinar o capo elétrico
a ) em regiões internas(
)
Use a lei de Gauss para determinar o capo elétrico
a ) em regiões internas(
Passo 1
O enunciado pede para usar a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico na região interna do cilindro, isto é para
. As informações dadas são:
- O corpo é um cilindro muito longo (infinito em prática) de raio
. - A densidade volumétrica de carga é
onde
,
e
são constantes positivas e
é a distância ao eixo do cilindro.
- Pedem o campo elétrico em pontos internos, ou seja para
.
Passo 2
Justificativa da simetria e escolha da superfície gaussiana.
Porque o cilindro é muito longo e a densidade depende apenas de
(distância ao eixo), o problema tem simetria cilíndrica:
- O campo elétrico deve apontar radialmente (na direção
) e depender só de : . - A superfície gaussiana natural é um cilindro coaxial de raio
(com ) e comprimento arbitrário . Vou usar esse cilindro como superfície gaussiana.
Explicando: a lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico através dessa superfície com a carga total contida nela. Pela simetria,
é constante sobre a superfície lateral do cilindro gaussiano, e as tampas contribuem zero (o campo é tangencialmente nulo às tampas).
Passo 3
Escrevendo a lei de Gauss e identificando cada termo.
A forma integral da lei de Gauss é
Aqui:
-
é o fluxo do campo elétrico pela superfície gaussiana. -
é a carga total contida no volume limitado pela superfície gaussiana. -
é a permissividade do vácuo.
Para o cilindro gaussiano de raio
e comprimento
:
- A área lateral é
. - O fluxo atravessando apenas a lateral é
(as tampas não contribuem, pois é paralelo às tampas).
Logo a lei de Gauss reduz-se a
Para encontrar
precisamos calcular
.
Passo 4
Cálculo da carga total contida dentro do raio
(enclosed charge).
A carga elementar numa casca cilíndrica de raio entre
e
(comprimento
) é
Aqui usei a variável de integração
para não confundir com o ponto onde se mede o campo
.
Substituindo
obtemos
Integrando de
até
dá a carga total dentro do raio
:
Agora calculamos a integral passo a passo:
Portanto
Passo 5
Substituir
na lei de Gauss e isolar
.
Voltando à equação de Gauss:
Cortar
nos dois lados e dividir por
dá
Simplificando a fração:
Passo 6
Interpretação final e direção do campo.
- O campo é radial e dirigido para fora se a expressão for positiva (o que ocorre para pequenos
com dados positivos), portanto a forma vetorial é
- Observação comparativa rápida (útil na prova): se a densidade fosse constante
(ou seja ignorando o termo ), então o resultado conhecido é . A expressão acima generaliza esse caso e adiciona o efeito do termo que decresce linearmente com .