Problema 04) Um cilindro isolante muito longo de raio R e uma densidade de cargas dada por
\rho=\rho_{0}\left(a-\frac{r}{b}\right),
onde a, b e \quad \rho_{0} \quad são constantes positivas e r é a distância ao eixo do cilindro.
Use a lei de Gauss para determinar o capo elétrico
a ) em regiões internas( r<R )

Passo 1

O enunciado pede para usar a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico na região interna do cilindro, isto é para r<R. As informações dadas são:
  • O corpo é um cilindro muito longo (infinito em prática) de raio R.
  • A densidade volumétrica de carga é
\rho(r)=\rho_{0}\!\left(a-\frac{r}{b}\right),
onde a, b e \rho_{0} são constantes positivas e r é a distância ao eixo do cilindro.
  • Pedem o campo elétrico em pontos internos, ou seja para 0\le r<R.

Passo 2

Justificativa da simetria e escolha da superfície gaussiana.
Porque o cilindro é muito longo e a densidade depende apenas de r (distância ao eixo), o problema tem simetria cilíndrica:
  • O campo elétrico deve apontar radialmente (na direção \hat{r}) e depender só de r: \mathbf{E}=\!E(r)\,\hat{r}.
  • A superfície gaussiana natural é um cilindro coaxial de raio \,r (com r<R) e comprimento arbitrário L. Vou usar esse cilindro como superfície gaussiana.
Explicando: a lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico através dessa superfície com a carga total contida nela. Pela simetria, E(r) é constante sobre a superfície lateral do cilindro gaussiano, e as tampas contribuem zero (o campo é tangencialmente nulo às tampas).

Passo 3

Escrevendo a lei de Gauss e identificando cada termo.
A forma integral da lei de Gauss é
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui:
  • \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo do campo elétrico pela superfície gaussiana.
  • Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume limitado pela superfície gaussiana.
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
Para o cilindro gaussiano de raio r e comprimento L:
  • A área lateral é A_{\text{lat}}=2\pi r L.
  • O fluxo atravessando apenas a lateral é E(r)\cdot 2\pi r L (as tampas não contribuem, pois \mathbf{E} é paralelo às tampas).
Logo a lei de Gauss reduz-se a
E(r)\,2\pi r L=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Para encontrar E(r) precisamos calcular Q_{\text{enc}}.

Passo 4

Cálculo da carga total contida dentro do raio r (enclosed charge).
A carga elementar numa casca cilíndrica de raio entre r' e r'+dr' (comprimento L) é
dq=\rho(r')\;dV=\rho(r')\;(2\pi r' L\,dr').
Aqui usei a variável de integração r' para não confundir com o ponto onde se mede o campo r.
Substituindo \rho(r')=\rho_{0}\!\left(a-\dfrac{r'}{b}\right) obtemos
dq=2\pi L\,\rho_{0}\!\left(a-\frac{r'}{b}\right) r'\,dr'.
Integrando de r'=0 até r'=r dá a carga total dentro do raio r:
Q_{\text{enc}}=2\pi L \rho_{0}\int_{0}^{r}\left(a r' - \frac{r'^{2}}{b}\right)dr'.
Agora calculamos a integral passo a passo:
\int_{0}^{r} a r'\,dr' = a\left[\frac{r'^{2}}{2}\right]_{0}^{r} = \frac{a r^{2}}{2},
\int_{0}^{r} \frac{r'^{2}}{b}\,dr' = \frac{1}{b}\left[\frac{r'^{3}}{3}\right]_{0}^{r} = \frac{r^{3}}{3b}.
Portanto
Q_{\text{enc}}=2\pi L \rho_{0}\left(\frac{a r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3b}\right).

Passo 5

Substituir Q_{\text{enc}} na lei de Gauss e isolar E(r).
Voltando à equação de Gauss:
E(r)\,2\pi r L=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\;Q_{\text{enc}} =\frac{1}{\varepsilon_{0}}\;2\pi L \rho_{0}\left(\frac{a r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3b}\right).
Cortar 2\pi L nos dois lados e dividir por r
E(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{a r^{2}/2 - r^{3}/(3b)}{r}\right).
Simplificando a fração:
E(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{a r}{2}-\frac{r^{2}}{3b}\right).

Passo 6

Interpretação final e direção do campo.
  • O campo é radial e dirigido para fora se a expressão for positiva (o que ocorre para pequenos r com dados positivos), portanto a forma vetorial é
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{a r}{2}-\frac{r^{2}}{3b}\right)\hat{r},\qquad 0\le r<R.
  • Observação comparativa rápida (útil na prova): se a densidade fosse constante \rho=\rho_{0}a (ou seja ignorando o termo -\rho_{0}r/b), então o resultado conhecido é E(r)=(\rho_{0}a/2\varepsilon_{0})\,r. A expressão acima generaliza esse caso e adiciona o efeito do termo que decresce linearmente com r.

Resposta

\mathbf{E}(r)=\dfrac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\!\left(\dfrac{a r}{2}-\dfrac{r^{2}}{3b}\right)\hat{r},\qquad (0\le r<R)

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