Problema 24. Mostre que o produto misto satisfaz as propriedades:
(c)
se, e somente se,
são linearmente dependentes.
Comente o significado geométrico do sinal do produto misto.
(c)
Comente o significado geométrico do sinal do produto misto.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos explícito.
- Pedido: provar que
se, e somente se,
são linearmente dependentes. Além disso, comentar o significado geométrico do sinal do produto misto.
- Informação que usamos (definição): o produto misto é definido por
Também usaremos que, em coordenadas, o produto misto é igual ao determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas de
:
Passo 2
Primeira direção: provar que se
são linearmente dependentes então
.
- Lembrando o que é dependência linear: existem escalares, não todos zero,
tais que
Isto implica que pelo menos um vetor é combinação linear dos outros (por exemplo, se
então
).
- Use a propriedade de linearidade do produto misto na primeira entrada: para quaisquer vetores
e escalares vale
Essa linearidade é imediata porque
.
- Se, por exemplo,
é combinação linear de e , ou seja , então
Mas para qualquer vetor
vale
(porque
é ortogonal a
), então
e
. Portanto
.
- Caso em que dois vetores são colineares (por exemplo
e colineares) dá e então . Logo em toda situação de dependência linear o produto misto é zero.
Passo 3
Segunda direção: provar que se
então
são linearmente dependentes.
Vamos dividir em dois subcasos.
Subcaso A:
e
são colineares.
- Se
e são colineares então já são linearmente dependentes; assim os três vetores são certamente linearmente dependentes (porque dois deles já o são). Além disso, quando e são colineares tem-se e portanto , consistência com a outra direção.
Subcaso B:
e
não são colineares.
- Se
e não são colineares então . O vetor é um vetor normal ao plano gerado por e : isto é, é ortogonal a qualquer combinação linear de e . - A condição
é , ou seja
Isto diz que
é ortogonal a
. Num espaço de dimensão
, ser ortogonal ao vetor normal
significa que
pertence ao plano ortogonal a
, e esse plano é justamente o plano gerado por
e
. Logo
é combinação linear de
e
:
para alguns escalares
. Assim
são linearmente dependentes.
- Observação alternativa (mais algébrica): como mencionado no Passo 1,
Se esse determinante é zero então as colunas da matriz são linearmente dependentes, i.e.
são linearmente dependentes. Isso dá a mesma conclusão sem recorrer à interpretação geométrica do produto vetorial.
Passo 4
Resumo do argumento lógico (para fixar): mostramos que toda situação de dependência linear força
(Passo 2) e que, reciprocamente,
implica dependência linear (Passo 3). Portanto a equivalência está provada:
Passo 5
Significado geométrico do sinal do produto misto (parte pedida).
-
Módulo (valor absoluto):
é o volume do paralelepípedo construído sobre os vetores . Assim significa volume zero, isto é, os vetores estão coplanares ou colineares (dependência linear). -
Sinal (orientação): o produto misto é um volume orientado. O sinal de
indica a orientação do triplo ordenado em relação à orientação padrão de . - Se a ordem
forma uma base com a mesma orientação (base “destra” ou right-handed) que a base canônica , então . - Se a ordem forma a orientação oposta (left-handed) então
.
- Se a ordem
-
Exemplos para fixar: com as bases canônicas tem-se
mas trocando duas colunas (por exemplo
e
) muda o sinal do determinante, então
Trocar a ordem dos vetores altera o sinal do produto misto de acordo com a paridade das trocas (propriedade de alternância).