Problema 24. Mostre que o produto misto satisfaz as propriedades:
(c)
[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=0
se, e somente se, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} são linearmente dependentes.
Comente o significado geométrico do sinal do produto misto.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos explícito.
  • Pedido: provar que
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0
se, e somente se, \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes. Além disso, comentar o significado geométrico do sinal do produto misto.
  • Informação que usamos (definição): o produto misto é definido por
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
Também usaremos que, em coordenadas, o produto misto é igual ao determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas de \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \det\begin{bmatrix}\vec{u}&\vec{v}&\vec{w}\end{bmatrix}.

Passo 2

Primeira direção: provar que se \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes então [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0.
  • Lembrando o que é dependência linear: existem escalares, não todos zero, \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}.
Isto implica que pelo menos um vetor é combinação linear dos outros (por exemplo, se \alpha\neq0 então \vec{u} = -\tfrac{\beta}{\alpha}\vec{v} - \tfrac{\gamma}{\alpha}\vec{w}).
  • Use a propriedade de linearidade do produto misto na primeira entrada: para quaisquer vetores \vec{x},\vec{y},\vec{z} e escalares a,b vale
[a\vec{x}+b\vec{y},\vec{v},\vec{w}] = a[\vec{x},\vec{v},\vec{w}] + b[\vec{y},\vec{v},\vec{w}].
Essa linearidade é imediata porque (a\vec{x}+b\vec{y})\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = a(\vec{x}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})) + b(\vec{y}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})).
  • Se, por exemplo, \vec{u} é combinação linear de \vec{v} e \vec{w}, ou seja \vec{u}=a\vec{v}+b\vec{w}, então
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = [a\vec{v}+b\vec{w},\vec{v},\vec{w}] = a[\vec{v},\vec{v},\vec{w}] + b[\vec{w},\vec{v},\vec{w}].
Mas para qualquer vetor \vec{p} vale \vec{p}\cdot(\vec{p}\times\vec{q})=0 (porque \vec{p}\times\vec{q} é ortogonal a \vec{p}), então [\vec{v},\vec{v},\vec{w}]=0 e [\vec{w},\vec{v},\vec{w}]=0. Portanto [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0.
  • Caso em que dois vetores são colineares (por exemplo \vec{v} e \vec{w} colineares) dá \vec{v}\times\vec{w}=\vec{0} e então [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot\vec{0}=0. Logo em toda situação de dependência linear o produto misto é zero.

Passo 3

Segunda direção: provar que se [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0 então \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes.
Vamos dividir em dois subcasos.
Subcaso A: \vec{v} e \vec{w} são colineares.
  • Se \vec{v} e \vec{w} são colineares então já são linearmente dependentes; assim os três vetores são certamente linearmente dependentes (porque dois deles já o são). Além disso, quando \vec{v} e \vec{w} são colineares tem-se \vec{v}\times\vec{w}=\vec{0} e portanto [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0, consistência com a outra direção.
Subcaso B: \vec{v} e \vec{w} não são colineares.
  • Se \vec{v} e \vec{w} não são colineares então \vec{v}\times\vec{w}\neq\vec{0}. O vetor \vec{n}=\vec{v}\times\vec{w} é um vetor normal ao plano gerado por \vec{v} e \vec{w}: isto é, \vec{n} é ortogonal a qualquer combinação linear de \vec{v} e \vec{w}.
  • A condição [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0 é \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0, ou seja
\vec{u}\cdot\vec{n}=0.
Isto diz que \vec{u} é ortogonal a \vec{n}. Num espaço de dimensão 3, ser ortogonal ao vetor normal \vec{n} significa que \vec{u} pertence ao plano ortogonal a \vec{n}, e esse plano é justamente o plano gerado por \vec{v} e \vec{w}. Logo \vec{u} é combinação linear de \vec{v} e \vec{w}:
\vec{u}=a\vec{v}+b\vec{w}
para alguns escalares a,b. Assim \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes.
  • Observação alternativa (mais algébrica): como mencionado no Passo 1,
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \det\begin{bmatrix}\vec{u}&\vec{v}&\vec{w}\end{bmatrix}.
Se esse determinante é zero então as colunas da matriz são linearmente dependentes, i.e. \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes. Isso dá a mesma conclusão sem recorrer à interpretação geométrica do produto vetorial.

Passo 4

Resumo do argumento lógico (para fixar): mostramos que toda situação de dependência linear força [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0 (Passo 2) e que, reciprocamente, [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0 implica dependência linear (Passo 3). Portanto a equivalência está provada:
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \vec{u},\vec{v},\vec{w}\\ \text{são linearmente dependentes}.ã

Passo 5

Significado geométrico do sinal do produto misto (parte pedida).
  • Módulo (valor absoluto): |[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]| é o volume do paralelepípedo construído sobre os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Assim |[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|=0 significa volume zero, isto é, os vetores estão coplanares ou colineares (dependência linear).
  • Sinal (orientação): o produto misto é um volume orientado. O sinal de [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] indica a orientação do triplo ordenado (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) em relação à orientação padrão de \mathbb{R}^3.
    • Se a ordem (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) forma uma base com a mesma orientação (base “destra” ou right-handed) que a base canônica (\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3), então [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]>0.
    • Se a ordem forma a orientação oposta (left-handed) então [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]<0.
  • Exemplos para fixar: com as bases canônicas tem-se
[\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3]=1,
mas trocando duas colunas (por exemplo \vec{e}_1 e \vec{e}_2) muda o sinal do determinante, então
[\vec{e}_2,\vec{e}_1,\vec{e}_3]=-1.
Trocar a ordem dos vetores altera o sinal do produto misto de acordo com a paridade das trocas (propriedade de alternância).

Resposta

[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0 se, e somente se, \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes.\nO valor absoluto |[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]| é o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}, e o sinal indica a orientação (positivo para orientação “destra”/right-handed, negativo para a orientação oposta).

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