Problema 8. Em \mathbb{R}^{2}, seja \vec{u}=(-3,4).
(a) calcule \|\vec{u}\|;
(b) determine um vetor unitário com a mesma direção e mesmo sentido de \vec{u};
(c) determine um vetor unitário com a mesma direção e sentido oposto.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{u}=(-3,4) em \mathbb{R}^2 e pede três coisas:
  • (a) calcular \|\vec{u}\|;
  • (b) determinar um vetor unitário com a mesma direção e mesmo sentido de \vec{u};
  • (c) determinar um vetor unitário com a mesma direção e sentido oposto.
Informações relevantes dadas: o vetor \vec{u}=(-3,4). Não há outras condições nem imagens.

Passo 2

O que é \|\vec{u}\|? É o comprimento (norma) do vetor no plano, dado pela fórmula da distância euclidiana. Para um vetor \vec{v}=(v_1,v_2) vale
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}}.
Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras: o comprimento do vetor é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelos componentes.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso vetor \vec{u}=(-3,4):
\|\vec{u}\|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}.
Calculemos os quadrados:
(-3)^{2}=9,\qquad 4^{2}=16.
Somando:
9+16=25.
Portanto
\|\vec{u}\|=\sqrt{25}=5.

Passo 4

Como obter um vetor unitário com a mesma direção e mesmo sentido? Regra prática: dividir o vetor pela sua norma. Se \vec{u}\neq\vec{0}, então
\hat{u}=\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}
é um vetor de comprimento 1 (unitário) e é paralelo a \vec{u}. A razão é simples: multiplicar/dividir por um escalar apenas alonga/encolhe o vetor sem mudar a direção; dividir por \|\vec{u}\| ajusta o comprimento para 1.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso:
\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}=\frac{1}{5}(-3,4)=\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Vamos verificar rapidamente que tem norma 1:
\left\|\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\right\| =\sqrt{\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}} =\sqrt{\frac{25}{25}} =1.
Logo \left(-\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right) é um vetor unitário com mesma direção e mesmo sentido de \vec{u}.

Passo 6

Para obter um vetor unitário com a mesma direção e sentido oposto, basta tomar o negativo do vetor unitário encontrado (ou dividir -\vec{u} pela norma). Assim:
-\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)=\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right).
Verificação da norma:
\left\|\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)\right\| =\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}} =1.
Esse vetor tem a mesma direção (é paralelo) mas sentido contrário a \vec{u} porque é -1 vezes o vetor unitário do mesmo sentido.

Resposta

\|\vec{u}\|=5
\left(-\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)
\left(\dfrac{3}{5},-\dfrac{4}{5}\right)

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