Problema 8. Em \mathbb{R}^{2}, seja \vec{u}=(-3,4).
(a) calcule \|\vec{u}\|;
(b) determine um vetor unitário com a mesma direção e mesmo sentido de \vec{u};
(c) determine um vetor unitário com a mesma direção e sentido oposto.
Passo 1
O enunciado dá o vetor \vec{u}=(-3,4) em \mathbb{R}^2 e pede três coisas:
(a) calcular \|\vec{u}\|;
(b) determinar um vetor unitário com a mesma direção e mesmo sentido de \vec{u};
(c) determinar um vetor unitário com a mesma direção e sentido oposto.
Informações relevantes dadas: o vetor \vec{u}=(-3,4). Não há outras condições nem imagens.
Passo 2
O que é \|\vec{u}\|? É o comprimento (norma) do vetor no plano, dado pela fórmula da distância euclidiana. Para um vetor \vec{v}=(v_1,v_2) vale
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}}.
Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras: o comprimento do vetor é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelos componentes.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso vetor \vec{u}=(-3,4):
\|\vec{u}\|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}.
Calculemos os quadrados:
(-3)^{2}=9,\qquad 4^{2}=16.
Somando:
9+16=25.
Portanto
\|\vec{u}\|=\sqrt{25}=5.
Passo 4
Como obter um vetor unitário com a mesma direção e mesmo sentido? Regra prática: dividir o vetor pela sua norma. Se \vec{u}\neq\vec{0}, então
\hat{u}=\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}
é um vetor de comprimento 1 (unitário) e é paralelo a \vec{u}. A razão é simples: multiplicar/dividir por um escalar apenas alonga/encolhe o vetor sem mudar a direção; dividir por \|\vec{u}\| ajusta o comprimento para 1.
Logo \left(-\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right) é um vetor unitário com mesma direção e mesmo sentido de \vec{u}.
Passo 6
Para obter um vetor unitário com a mesma direção e sentido oposto, basta tomar o negativo do vetor unitário encontrado (ou dividir -\vec{u} pela norma). Assim: