Nos problemas abaixo, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental.
h(x)=0 se x \in[2 n-1,2 n) e h(x)=1 se x \in[2 n, 2 n+1), onde n \in \mathbb{Z}.
h(x)=0 se x \in[2 n-1,2 n) e h(x)=1 se x \in[2 n, 2 n+1), onde n \in \mathbb{Z}.
Passo 1
O enunciado define a função
por partes, para todo
:
-
se . -
se .
O que se pede:
- Determinar se
é periódica. - Se for periódica, encontrar o período fundamental (ou seja, o menor
tal que para todo ).
Passo 2
Lembrete do conceito que vamos usar (explicando devagar):
- Uma função
é periódica com período se valem
- O período fundamental (ou primitivo) é o menor
que satisfaz a igualdade acima. Se existir um menor, todos os outros períodos positivos serão múltiplos inteiros dele.
Vou agora aplicar essa definição à função
dada.
Passo 3
Mostro que
tem período
. Tome um
arbitrário. Existem duas possibilidades pelo enunciado:
- Se
para algum , então
logo, por definição,
.
- Se
para algum , então
logo
.
Como os dois casos cobrem qualquer
, concluímos que
Portanto
é um período de
.
Passo 4
Agora é preciso mostrar que não existe período positivo menor que
. Seja
um número com
. Vou demonstrar que então não vale
para todo
exibindo um
com contradição. Trato os casos:
- Caso
. Escolha
Temos
, logo
(porque
é do tipo
). E
portanto
(pois
é do tipo
). Assim
.
-
Caso
. Tome . Então (pois ) e (pois ). Logo . -
Caso
. Escolha
Temos
, então
. E
logo
. De novo
.
Em todos os subcasos
encontramos um
com
. Portanto nenhum
estritamente entre
e
pode ser período.
Passo 5
Juntando os resultados:
- Já mostramos que
é período de . - Já mostramos que não existe período positivo menor que
.
Logo
é o menor período positivo, ou seja, o período fundamental de
. (Observação adicional: quaisquer múltiplos inteiros positivos de
também são períodos, mas o fundamental é o menor, que é
.)
Resposta
A função
é periódica e seu período fundamental é
.