Nos problemas abaixo, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental.
h(x)=0 se x \in[2 n-1,2 n) e h(x)=1 se x \in[2 n, 2 n+1), onde n \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado define a função h por partes, para todo n\in\mathbb{Z}:
  • h(x)=0 se x\in[2n-1,\,2n).
  • h(x)=1 se x\in[2n,\,2n+1).
O que se pede:
  • Determinar se h é periódica.
  • Se for periódica, encontrar o período fundamental (ou seja, o menor T>0 tal que h(x+T)=h(x) para todo x).

Passo 2

Lembrete do conceito que vamos usar (explicando devagar):
  • Uma função f é periódica com período T>0 se valem
f(x+T)=f(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
  • O período fundamental (ou primitivo) é o menor T>0 que satisfaz a igualdade acima. Se existir um menor, todos os outros períodos positivos serão múltiplos inteiros dele.
Vou agora aplicar essa definição à função h dada.

Passo 3

Mostro que h tem período 2. Tome um x arbitrário. Existem duas possibilidades pelo enunciado:
  1. Se x\in[2n-1,\,2n) para algum n\in\mathbb{Z}, então
x+2 \in [2n-1+2,\,2n+2) = [2(n+1)-1,\,2(n+1)),
logo, por definição, h(x+2)=0=h(x).
  1. Se x\in[2n,\,2n+1) para algum n\in\mathbb{Z}, então
x+2 \in [2n+2,\,2n+3) = [2(n+1),\,2(n+1)+1),
logo h(x+2)=1=h(x).
Como os dois casos cobrem qualquer x, concluímos que
h(x+2)=h(x)\quad\text{para todo }x.
Portanto 2 é um período de h.

Passo 4

Agora é preciso mostrar que não existe período positivo menor que 2. Seja T um número com 0<T<2. Vou demonstrar que então não vale h(x+T)=h(x) para todo x exibindo um x com contradição. Trato os casos:
  • Caso 0<T<1. Escolha
x=2-\tfrac{T}{2}.
Temos x\in(1,2), logo h(x)=0 (porque [1,2) é do tipo [2n-1,2n)). E
x+T = 2 + \tfrac{T}{2} \in (2,3),
portanto h(x+T)=1 (pois [2,3) é do tipo [2n,2n+1)). Assim h(x+T)\neq h(x).
  • Caso T=1. Tome x=0. Então h(0)=1 (pois 0\in[0,1)) e h(0+1)=h(1)=0 (pois 1\in[1,2)). Logo h(0+1)\neq h(0).
  • Caso 1<T<2. Escolha
x=1-\tfrac{T}{2}.
Temos x\in(0,1), então h(x)=1. E
x+T = 1 + \tfrac{T}{2} \in (1,2),
logo h(x+T)=0. De novo h(x+T)\neq h(x).
Em todos os subcasos 0<T<2 encontramos um x com h(x+T)\neq h(x). Portanto nenhum T estritamente entre 0 e 2 pode ser período.

Passo 5

Juntando os resultados:
  • Já mostramos que 2 é período de h.
  • Já mostramos que não existe período positivo menor que 2.
Logo 2 é o menor período positivo, ou seja, o período fundamental de h. (Observação adicional: quaisquer múltiplos inteiros positivos de 2 também são períodos, mas o fundamental é o menor, que é 2.)

Resposta

A função h é periódica e seu período fundamental é 2.

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