Nos problemas abaixo, identifique (mas não resolva) a equação, como Homogênea, Bernoulli ou G(ax+by).
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede apenas identificar se ela é do tipo Homogênea, Bernoulli ou
. Nada deve ser resolvido — só classificar.
Passo 2
Definição rápida e didática do tipo “Homogênea” (forma que precisaríamos reconhecer):
- Uma equação de primeira ordem é dita homogênea (no sentido
ou ) se puder ser escrita como
ou, em forma diferencial
, quando
e
são funções homogêneas do mesmo grau.
- O teste prático: substituir
deve reduzir a equação a uma em e onde a dependência fica só em (ou a razão ).
Passo 3
Definição didática do tipo “Bernoulli”:
- A equação de Bernoulli tem a forma padrão
onde
e
são funções conhecidas de
e
é um número real.
- Aqui
é o coeficiente da parte linear em , multiplica a potência não-linear . - Observação útil: quando
ou a equação reduz a casos mais simples; para existe uma substituição padrão que transforma em uma equação linear para (isso é para conhecimento — não vamos resolver).
Passo 4
Definição do tipo
:
- São equações em que a derivada depende apenas de uma combinação linear de
e , isto é
onde
é alguma função e
constantes. O teste prático: ver se a direita pode ser escrita como função de
apenas.
Passo 5
Comparemos a equação dada com as formas acima:
- Colocando na forma de Bernoulli, vemos claramente que ela é
com
- Não é da forma
(não depende apenas de ), logo não é homogênea nesse sentido. - Também não é da forma
(a dependência é em e em , não em uma combinação linear ).
Resposta
Bernoulli (
)