Nos problemas abaixo, identifique (mas não resolva) a equação, como Homogênea, Bernoulli ou G(ax+by).
\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=x^{3} y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x^{3}y^{2}
e pede apenas identificar se ela é do tipo Homogênea, Bernoulli ou G(ax+by). Nada deve ser resolvido — só classificar.

Passo 2

Definição rápida e didática do tipo “Homogênea” (forma que precisaríamos reconhecer):
  • Uma equação de primeira ordem é dita homogênea (no sentido y'/x ou y' = F(y/x)) se puder ser escrita como
\frac{dy}{dx}=F\!\left(\frac{y}{x}\right),
ou, em forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, quando M e N são funções homogêneas do mesmo grau.
  • O teste prático: substituir y=ux deve reduzir a equação a uma em u e x onde a dependência fica só em u (ou a razão y/x).

Passo 3

Definição didática do tipo “Bernoulli”:
  • A equação de Bernoulli tem a forma padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x e n é um número real.
  • Aqui P(x) é o coeficiente da parte linear em y, Q(x) multiplica a potência não-linear y^{n}.
  • Observação útil: quando n=0 ou n=1 a equação reduz a casos mais simples; para n\neq1 existe uma substituição padrão z=y^{1-n} que transforma em uma equação linear para z (isso é para conhecimento — não vamos resolver).

Passo 4

Definição do tipo G(ax+by):
  • São equações em que a derivada depende apenas de uma combinação linear de x e y, isto é
\frac{dy}{dx}=G(ax+by),
onde G é alguma função e a,b constantes. O teste prático: ver se a direita pode ser escrita como função de ax+by apenas.

Passo 5

Comparemos a equação dada com as formas acima:
\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x^{3}y^{2}.
  • Colocando na forma de Bernoulli, vemos claramente que ela é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
com
P(x)=\frac{1}{x},\qquad Q(x)=x^{3},\qquad n=2.
  • Não é da forma \frac{dy}{dx}=F(y/x) (não depende apenas de y/x), logo não é homogênea nesse sentido.
  • Também não é da forma \frac{dy}{dx}=G(ax+by) (a dependência é em x e em y^{2}, não em uma combinação linear ax+by).

Resposta

Bernoulli ( n=2)

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