1. O produto misto entre os vetores \vec{u}= (1,-1,1), \quad \vec{v}=(2,-3,1) e \vec{w}= ( 4,1,-1 ) é igual a:
    а) -20 ;

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pergunta pelo produto misto entre eles. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Vetores fornecidos:
\vec{u}=(1,-1,1),\qquad \vec{v}=(2,-3,1),\qquad \vec{w}=(4,1,-1).
  • O que se pede: o produto misto, isto é o escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). (Não há outras informações no enunciado.)

Passo 2

O que é o produto misto e como calculá-lo (aula rápida e intuitiva).
  • O produto vetorial \vec{v}\times\vec{w} é um vetor perpendicular a \vec{v} e \vec{w} cuja magnitude é a área do paralelogramo gerado por \vec{v} e \vec{w}. Em coordenadas, para \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3):
\vec{v}\times\vec{w}=\big(v_2w_3-v_3w_2,\;v_3w_1-v_1w_3,\;v_1w_2-v_2w_1\big).
  • O produto escalar \vec{u}\cdot\vec{a} entre \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) é
\vec{u}\cdot\vec{a}=u_1a_1+u_2a_2+u_3a_3.
  • O produto misto \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) pode ser obtido calculando primeiro \vec{v}\times\vec{w} e depois fazendo o escalar com \vec{u}. Alternativamente, é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=\det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}.
Vou usar a primeira forma (cross + dot) porque fica bem direto passo a passo.]

Passo 3

Calcular \vec{v}\times\vec{w} usando as coordenadas de \vec{v} e \vec{w}. Substituindo v_1=2,\;v_2=-3,\;v_3=1 e w_1=4,\;w_2=1,\;w_3=-1 na fórmula do cross:
\vec{v}\times\vec{w}=\big(v_2w_3-v_3w_2,\;v_3w_1-v_1w_3,\;v_1w_2-v_2w_1\big).
Agora calculo cada componente separadamente:
  • Primeira componente:
v_2w_3-v_3w_2 = (-3)\cdot(-1) - 1\cdot 1 = 3 - 1 = 2.
  • Segunda componente:
v_3w_1-v_1w_3 = 1\cdot 4 - 2\cdot(-1) = 4 - (-2) = 6.
  • Terceira componente:
v_1w_2-v_2w_1 = 2\cdot 1 - (-3)\cdot 4 = 2 - (-12) = 14.
Portanto
\vec{v}\times\vec{w}=(2,6,14).

Passo 4

Agora faço o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Como \vec{u}=(1,-1,1) e \vec{v}\times\vec{w}=(2,6,14),
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=1\cdot 2 + (-1)\cdot 6 + 1\cdot 14.
Calculo termo a termo:
1\cdot 2 = 2,\qquad (-1)\cdot 6 = -6,\qquad 1\cdot 14 = 14.

Passo 5

Somando os termos do produto escalar:
2 + (-6) + 14 = 2 - 6 + 14 = (2-6) + 14 = -4 + 14 = 10.
Portanto o produto misto vale 10.

Resposta

10

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