1. O produto misto entre os vetores \vec{u}= (1,-1,0), \vec{v}=(2,3,1) e \vec{w}=(0,1,-1) é igual a:
    а) -3 ;

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores e pede o produto misto entre eles. Os dados fornecidos são (peguei-os do enunciado):
\vec{u}=(1,-1,0), \vec{v}=(2,3,1) e \vec{w}=(0,1,-1).
A pergunta é: qual é o valor do produto misto entre \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}?

Passo 2

O que é o produto misto? Vou explicar de um jeito bem tranquilo.
  • O produto misto de três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} é o número
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
Aqui:
  • \vec{v}\times\vec{w} é o produto vetorial (cross product) entre \vec{v} e \vec{w}; o resultado é um vetor.
  • \vec{u}\cdot(\cdot) é o produto escalar (dot product) entre \vec{u} e esse vetor; o resultado é um número (escalar).
Outra forma prática de calcular o produto misto é como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos três vetores:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=\det\begin{pmatrix} u_x & u_y & u_z\\[4pt] v_x & v_y & v_z\\[4pt] w_x & w_y & w_z \end{pmatrix}.
Vou usar a definição via \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}), calculando primeiro \vec{v}\times\vec{w} e depois o produto escalar com \vec{u}.]

Passo 3

Calcular o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w}. Para vetores \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) e \vec{w}=(w_x,w_y,w_z) as componentes do produto vetorial são:
(\vec{v}\times\vec{w})_x = v_y w_z - v_z w_y,
(\vec{v}\times\vec{w})_y = v_z w_x - v_x w_z,
(\vec{v}\times\vec{w})_z = v_x w_y - v_y w_x.
Substituindo \vec{v}=(2,3,1) e \vec{w}=(0,1,-1):
  • Componente x:
(\vec{v}\times\vec{w})_x = 3\cdot(-1) - 1\cdot1 = -3 - 1 = -4.
  • Componente y:
(\vec{v}\times\vec{w})_y = 1\cdot0 - 2\cdot(-1) = 0 + 2 = 2.
  • Componente z:
(\vec{v}\times\vec{w})_z = 2\cdot1 - 3\cdot0 = 2 - 0 = 2.
Portanto
\vec{v}\times\vec{w}=(-4,\,2,\,2).

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Para vetores \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z) vale
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Usando \vec{u}=(1,-1,0) e \vec{v}\times\vec{w}=(-4,2,2):
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 1\cdot(-4) + (-1)\cdot 2 + 0\cdot 2 = -4 - 2 + 0 = -6.

Passo 5

Cheque rápido (opcional, para ganhar confiança): calcular o determinante diretamente também dá o mesmo resultado. A matriz com linhas \vec{u},\vec{v},\vec{w} é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Expandindo por co-fatores na primeira linha:
\det = 1\cdot(3\cdot(-1)-1\cdot1) - (-1)\cdot(2\cdot(-1)-1\cdot0) + 0\cdot(\cdots) = 1\cdot(-3-1) +1\cdot(-2-0) = -4 - 2 = -6,
confirmando o mesmo resultado.]

Resposta

-6

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