Um projétil é lançado horizontalmente de uma altura de 450 m com velocidade \mathrm{v}_{0}= 250 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(i) Quando ele atinge o solo?
(ii) Onde?
(iii) Qual é a razão v_{y} / v_{x} no impacto?

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte e pede três coisas:
  • Dados fornecidos:
    • altura inicial h=450\\ \mathrm{m} (altura do ponto de lançamento acima do solo);
    • velocidade inicial horizontal v_{0}=250\\ \mathrm{m/s};
    • o projétil é lançado horizontalmente (ou seja, componente vertical inicial v_{0y}=0);
    • considerar aceleração da gravidade g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} e desprezar resistência do ar.
  • Perguntas:
    1. Quando ele atinge o solo? (tempo de queda)
    2. Onde atinge o solo? (posição horizontal medida a partir do ponto de lançamento)
    3. Qual é a razão v_{y}/v_{x} no impacto?

Passo 2

Modelagem do movimento e equações que vamos usar (explicação didática).
  • Como o lançamento é horizontal, o movimento se separa em duas direções independentes:
    • Direção horizontal x: não há aceleração (desprezando resistência do ar), logo a velocidade horizontal é constante e igual à velocidade inicial: v_x(t)=v_{0}=250\\ \mathrm{m/s}.A posição horizontal em função do tempo é x(t)=v_{0}\,t.Aqui x(t) é a distância horizontal medida desde o ponto de lançamento e t é o tempo desde o lançamento.
    • Direção vertical y: há aceleração constante para baixo igual a g. Tomando o solo como y=0 e o ponto de lançamento em y=h, a posição vertical é y(t)=h+v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g t^{2}.Como v_{0y}=0, isso fica y(t)=h-\tfrac{1}{2}g t^{2}.O projétil atinge o solo quando y(t)=0. Portanto o tempo de queda t satisfaz 0=h-\tfrac{1}{2}g t^{2}\quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{2}g t^{2}=h.Isolando t, t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}.Essa fórmula é muito usada: ela vem diretamente da equação do deslocamento sob aceleração constante quando a velocidade inicial vertical é zero.
  • Depois de achar t, a posição horizontal de impacto é x=v_{0}t.
  • A velocidade vertical no instante do impacto é dada por v_{y}(t)=v_{0y}-g t = -g t,(o sinal negativo indica direção para baixo). A razão pedida é v_{y}/v_{x} avaliada em t do impacto.

Passo 3

Cálculo do tempo de queda com números (faça sem calculadora — método prático).
  • Substituindo h=450\\ \mathrm{m} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} em \;t=\sqrt{2h/g}\;: t=\sqrt{\dfrac{2\cdot 450}{9,8}}=\sqrt{\dfrac{900}{9,8}}.
  • Calcular \dfrac{900}{9,8}=91{,}8367346939\ldots. Agora precisamos da raiz quadrada de aproximadamente 91{,}8367.
    • Observação prática para fazer à mão: 9{,}5^{2}=90{,}25 e 9{,}6^{2}=92{,}16. Como 91{,}8367 está entre esses dois valores, a raiz está entre 9{,}5 e 9{,}6.
    • Interpolando linearmente (aproximação simples) encontramos t\approx 9{,}583\\ \mathrm{s}. (outra forma: usar uma iteração de Newton a partir de 9{,}583 dá o mesmo valor com precisão).
  • Portanto t\approx 9{,}583\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Cálculo da posição horizontal de impacto.
  • A posição horizontal é \;x=v_{0}t\;: x=250\cdot 9{,}583.
  • Multiplicando de forma simples: 250\cdot 9{,}583 = 250\cdot(9 + 0{,}583)=2250 + 145{,}75 = 2395{,}75.Arredondando razoavelmente, x\approx 2395{,}8\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: o projétil atinge o solo a cerca de 2396\\ \mathrm{m} horizontalmente do ponto de lançamento — é uma distância grande porque a velocidade horizontal é alta.

Passo 5

Cálculo da velocidade vertical no impacto e da razão v_{y}/v_{x}.
  • Velocidade vertical no impacto: v_{y}=-g t = -9{,}8\cdot 9{,}583 \approx -93{,}915\\ \mathrm{m/s}.O sinal negativo indica que a velocidade aponta para baixo no instante do impacto.
  • Razão pedida: \dfrac{v_{y}}{v_{x}}=\dfrac{-g t}{v_{0}}=\dfrac{-93{,}915}{250}\approx -0{,}37566.Arredondando para três algarismos significativos, \dfrac{v_{y}}{v_{x}}\approx -0{,}376.
  • Interpretação: o valor absoluto 0{,}376 indica que a componente vertical da velocidade no impacto é cerca de 37{,}6\% da componente horizontal, e o sinal negativo mostra que é para baixo.

Resposta

(i) t\approx 9{,}583\\ \mathrm{s}
(ii) x\approx 2395{,}8\\ \mathrm{m} (horizontalmente a partir do ponto de lançamento)
(iii) \dfrac{v_{y}}{v_{x}}\approx -0{,}376

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