Um projétil é lançado horizontalmente de uma altura de 450 m com velocidade
.
(i) Quando ele atinge o solo?
(ii) Onde?
(iii) Qual é a razão
no impacto?
(i) Quando ele atinge o solo?
(ii) Onde?
(iii) Qual é a razão
Passo 1
O enunciado nos dá o seguinte e pede três coisas:
- Dados fornecidos:
- altura inicial
(altura do ponto de lançamento acima do solo); - velocidade inicial horizontal
; - o projétil é lançado horizontalmente (ou seja, componente vertical inicial
); - considerar aceleração da gravidade
e desprezar resistência do ar.
- altura inicial
- Perguntas:
- Quando ele atinge o solo? (tempo de queda)
- Onde atinge o solo? (posição horizontal medida a partir do ponto de lançamento)
- Qual é a razão
no impacto?
Passo 2
Modelagem do movimento e equações que vamos usar (explicação didática).
- Como o lançamento é horizontal, o movimento se separa em duas direções independentes:
- Direção horizontal
: não há aceleração (desprezando resistência do ar), logo a velocidade horizontal é constante e igual à velocidade inicial: A posição horizontal em função do tempo é Aqui é a distância horizontal medida desde o ponto de lançamento e é o tempo desde o lançamento. - Direção vertical
: há aceleração constante para baixo igual a . Tomando o solo como e o ponto de lançamento em , a posição vertical é Como , isso fica O projétil atinge o solo quando . Portanto o tempo de queda satisfaz Isolando , Essa fórmula é muito usada: ela vem diretamente da equação do deslocamento sob aceleração constante quando a velocidade inicial vertical é zero.
- Direção horizontal
- Depois de achar
, a posição horizontal de impacto é . - A velocidade vertical no instante do impacto é dada por
(o sinal negativo indica direção para baixo). A razão pedida é avaliada em do impacto.
Passo 3
Cálculo do tempo de queda com números (faça sem calculadora — método prático).
- Substituindo
e em - Calcular
. Agora precisamos da raiz quadrada de aproximadamente . - Observação prática para fazer à mão:
e . Como está entre esses dois valores, a raiz está entre e . - Interpolando linearmente (aproximação simples) encontramos
. (outra forma: usar uma iteração de Newton a partir de dá o mesmo valor com precisão).
- Observação prática para fazer à mão:
- Portanto
Passo 4
Cálculo da posição horizontal de impacto.
- A posição horizontal é
- Multiplicando de forma simples:
Arredondando razoavelmente, - Interpretação: o projétil atinge o solo a cerca de
horizontalmente do ponto de lançamento — é uma distância grande porque a velocidade horizontal é alta.
Passo 5
Cálculo da velocidade vertical no impacto e da razão
.
- Velocidade vertical no impacto:
O sinal negativo indica que a velocidade aponta para baixo no instante do impacto. - Razão pedida:
Arredondando para três algarismos significativos, - Interpretação: o valor absoluto
indica que a componente vertical da velocidade no impacto é cerca de da componente horizontal, e o sinal negativo mostra que é para baixo.
Resposta
(i)
(ii) (horizontalmente a partir do ponto de lançamento)
(iii)
(ii)
(iii)