Prove, pela definição (usando \epsilon \mathrm{e} \delta ), que a função f(x)=\frac{1}{x} é contínua.
Passo 1
O enunciado pede: provar, pela definição (usando \epsilon e \delta), que a função f(x)=\dfrac{1}{x} é contínua.
Informações dadas:
A função é f(x)=\dfrac{1}{x}.
O domínio natural da função é \mathbb{R}\setminus\{0\} (ou seja, todos os x reais exceto 0).
O que precisamos mostrar: para todo ponto a do domínio (ou seja, para todo a com a\neq0), vale a definição \epsilon-\delta de continuidade em a: para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que x pertence ao domínio e |x-a|<\delta, temos |f(x)-f(a)|<\epsilon.
Passo 2
Lembrando a definição de continuidade em um ponto de forma bem didática:
Dizemos que f é contínua em a se, dado qualquer “erro tolerável” \epsilon>0 no valor da função, conseguimos encontrar uma “tolerância” \delta>0 na entrada tal que, quando x está dentro de \delta de a, o valor f(x) fica dentro de \epsilon de f(a).
Em símbolos: para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que
Vamos provar continuidade em um ponto arbitrário a do domínio. Portanto, tome um a\in\mathbb{R} com a\neq 0. O objetivo é: para um \epsilon>0 qualquer, encontrar \delta>0 (dependendo de \epsilon e de a) que garanta \left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}\right|<\epsilon sempre que 0<|x-a|<\delta e x\neq0.
Passo 4
Façamos a manipulação algébrica da diferença que queremos controlar:
Portanto, se conseguirmos controlar o produto |a||x| por baixo (ou seja, garantir que não seja muito pequeno), teremos uma estimativa do tipo \left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}\right| \le C\,|x-a| com alguma constante C dependente de a.
Passo 5
Precisamos então garantir que |x| não fique próximo de zero quando x está perto de a. Uma escolha simples que faz isso é forçar |x-a|<\dfrac{|a|}{2}. De fato, se |x-a|<\dfrac{|a|}{2}, pela desigualdade triangular inversa vem
Portanto, se fizermos com que |x-a|<\delta e escolhermos \delta de modo que
\dfrac{2\delta}{|a|^{2}} \le \epsilon,
então teremos \left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}\right|<\epsilon.
Passo 7
Agora escolhemos \delta explicitamente para satisfazer as duas restrições que usamos: (i) \delta\le \dfrac{|a|}{2} para garantir o bound em |x|, e (ii) \delta\le \dfrac{\epsilon |a|^{2}}{2} para garantir que \dfrac{2\delta}{|a|^{2}}\le\epsilon. Assim, defina
Isso prova que, dado \epsilon>0, escolhemos \delta que satisfaz a definição de continuidade em a. Como a foi um ponto arbitrário do domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}, concluímos que f(x)=\dfrac{1}{x} é contínua em todo ponto do domínio.
Passo 8
Um pequeno exemplo numérico para fixar a ideia: tome a=2 e \epsilon=0,1. Então \dfrac{|a|}{2}=1 e \dfrac{\epsilon|a|^{2}}{2}=\dfrac{0,1\cdot 4}{2}=0,2. Logo \delta=\min(1,0,2)=0,2. Assim, sempre que |x-2|<0,2 teremos \left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\right|<0,1. Dá para checar facilmente com um valor concreto como x=2{,}1.
Resposta
f(x)=\dfrac{1}{x} é contínua em todo ponto a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, isto é, f é contínua em \mathbb{R}\setminus\{0\}.