Prove, pela definição (usando \epsilon \mathrm{e} \delta ), que a função f(x)=\frac{1}{x} é contínua.

Passo 1

O enunciado pede: provar, pela definição (usando \epsilon e \delta), que a função f(x)=\dfrac{1}{x} é contínua.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • O domínio natural da função é \mathbb{R}\setminus\{0\} (ou seja, todos os x reais exceto 0).
    O que precisamos mostrar: para todo ponto a do domínio (ou seja, para todo a com a\neq0), vale a definição \epsilon- \delta de continuidade em a: para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que x pertence ao domínio e |x-a|<\delta, temos |f(x)-f(a)|<\epsilon.

Passo 2

Lembrando a definição de continuidade em um ponto de forma bem didática:
Dizemos que f é contínua em a se, dado qualquer “erro tolerável” \epsilon>0 no valor da função, conseguimos encontrar uma “tolerância” \delta>0 na entrada tal que, quando x está dentro de \delta de a, o valor f(x) fica dentro de \epsilon de f(a).
Em símbolos: para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<|x-a|<\delta \quad\Rightarrow\quad \left|f(x)-f(a)\right|<\epsilon.

Passo 3

Vamos provar continuidade em um ponto arbitrário a do domínio. Portanto, tome um a\in\mathbb{R} com a\neq 0. O objetivo é: para um \epsilon>0 qualquer, encontrar \delta>0 (dependendo de \epsilon e de a) que garanta \left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}\right|<\epsilon sempre que 0<|x-a|<\delta e x\neq0.

Passo 4

Façamos a manipulação algébrica da diferença que queremos controlar:
\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}\right| = \left|\dfrac{a-x}{ax}\right| = \dfrac{|x-a|}{|a||x|}.
Portanto, se conseguirmos controlar o produto |a||x| por baixo (ou seja, garantir que não seja muito pequeno), teremos uma estimativa do tipo \left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}\right| \le C\,|x-a| com alguma constante C dependente de a.

Passo 5

Precisamos então garantir que |x| não fique próximo de zero quando x está perto de a. Uma escolha simples que faz isso é forçar |x-a|<\dfrac{|a|}{2}. De fato, se |x-a|<\dfrac{|a|}{2}, pela desigualdade triangular inversa vem
|x| \ge |a| - |x-a| > |a| - \dfrac{|a|}{2} = \dfrac{|a|}{2}.
Assim, sob a condição |x-a|<\dfrac{|a|}{2} (além de x\neq0), temos |x|>\dfrac{|a|}{2} e portanto
\dfrac{1}{|x|} < \dfrac{2}{|a|}.

Passo 6

Usando essa desigualdade na expressão do Passo 4 obtemos, sempre que |x-a|<\dfrac{|a|}{2},
\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}\right| = \dfrac{|x-a|}{|a||x|} \le \dfrac{|x-a|}{|a| \cdot \tfrac{|a|}{2}} = \dfrac{2|x-a|}{|a|^{2}}.
Portanto, se fizermos com que |x-a|<\delta e escolhermos \delta de modo que
\dfrac{2\delta}{|a|^{2}} \le \epsilon,
então teremos \left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}\right|<\epsilon.

Passo 7

Agora escolhemos \delta explicitamente para satisfazer as duas restrições que usamos: (i) \delta\le \dfrac{|a|}{2} para garantir o bound em |x|, e (ii) \delta\le \dfrac{\epsilon |a|^{2}}{2} para garantir que \dfrac{2\delta}{|a|^{2}}\le\epsilon. Assim, defina
\delta=\min\!\left(\dfrac{|a|}{2},\\ \dfrac{\epsilon |a|^{2}}{2}\right).
Então, para qualquer x com 0<|x-a|<\delta (e portanto x\neq0), vale |x-a|<\dfrac{|a|}{2} e a estimativa do Passo 6 dá
\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}\right| \le \dfrac{2|x-a|}{|a|^{2}} < \dfrac{2\delta}{|a|^{2}} \le \epsilon.
Isso prova que, dado \epsilon>0, escolhemos \delta que satisfaz a definição de continuidade em a. Como a foi um ponto arbitrário do domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}, concluímos que f(x)=\dfrac{1}{x} é contínua em todo ponto do domínio.

Passo 8

Um pequeno exemplo numérico para fixar a ideia: tome a=2 e \epsilon=0,1. Então \dfrac{|a|}{2}=1 e \dfrac{\epsilon|a|^{2}}{2}=\dfrac{0,1\cdot 4}{2}=0,2. Logo \delta=\min(1,0,2)=0,2. Assim, sempre que |x-2|<0,2 teremos \left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\right|<0,1. Dá para checar facilmente com um valor concreto como x=2{,}1.

Resposta

f(x)=\dfrac{1}{x} é contínua em todo ponto a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, isto é, f é contínua em \mathbb{R}\setminus\{0\}.

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