Prove que para a função f dada, o limite quando (x, y) tende a (0,0) não existe.
f(x, y)=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para provar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
não existe, onde a função é
f(x,y)=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes dadas: a expressão de f(x,y) para pontos (x,y) próximos de (0,0) (exceto possivelmente em (0,0) se a função não estiver definida aí). A tarefa é verificar se existe um número real L tal que f(x,y) se aproxima de L quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Primeiro explico, com calma, o que significa existir limite em duas variáveis (a definição formal): dizemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, temos |f(x,y)-L|<\varepsilon. Um corolário prático e muito usado em provas é: se o limite existir, então qualquer caminho (ou qualquer sequência) que leve (x,y) a (0,0) deve produzir o mesmo valor limite L. Logo, uma maneira eficiente de provar que o limite não existe é encontrar dois caminhos para (0,0) que produzam limites diferentes — aí já dá contradição.
Estratégia escolhida: vou calcular os limites de f ao longo de caminhos simples que chegam em (0,0). Se eu achar dois caminhos com limites distintos, concluo que o limite total não existe. Vou usar dois caminhos bem simples: a reta y=0 e a reta x=0. Eles são fáceis de calcular e costumam dar respostas diferentes quando a função não tem limite.

Passo 3

Calculo do limite ao longo da reta x=0. Substituo x=0 na expressão de f (para y\neq0):
f(0,y)=\frac{0^{2}}{0^{2}+y^{2}}=\frac{0}{y^{2}}=0.
Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) pela reta x=0 (ou seja, pontos (0,y) com y\to0), o valor de f é sempre 0, então o limite ao longo desse caminho é
\lim_{y\to0} f(0,y)=0.

Passo 4

Calculo do limite ao longo da reta y=0. Substituo y=0 na expressão de f (para x\neq0):
f(x,0)=\frac{x^{2}}{x^{2}+0^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1.
Logo, ao aproximar (x,y) de (0,0) pela reta y=0 (pontos (x,0) com x\to0), o valor de f é sempre 1, então o limite ao longo desse caminho é
\lim_{x\to0} f(x,0)=1.

Passo 5

Comparando os resultados dos Passos 4 e 5: ao aproximar (0,0) pela reta x=0 obtenho limite 0, e pela reta y=0 obtenho limite 1. Como esses dois resultados são diferentes, não pode existir um único número L que seja o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0). Isso porque, se existisse tal L, o valor de f ao longo de qualquer caminho que vá a (0,0) teria de tender a L; aqui temos caminhos que dão 0 e 1, contradizendo a unicidade.
Um complemento didático: podemos ver que existe uma família inteira de limites diferentes ao tomar retas y=mx (com m constante). Substituindo y=mx na função (para x\neq0):
f(x,mx)=\frac{x^{2}}{x^{2}+(mx)^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}+m^{2}x^{2}}=\frac{1}{1+m^{2}}.
Esse valor é constante em x (quando x\neq0), então o limite quando x\to0 ao longo da reta y=mx é
\lim_{x\to0} f(x,mx)=\frac{1}{1+m^{2}}.
Como \frac{1}{1+m^{2}} depende de m, mudando m obtemos diferentes valores possíveis (por exemplo, m=0 1, m=1 1/2, e m\to\infty corresponde à reta x=0 dando 0). Isso reforça claramente que não há um único limite ao redor de (0,0).

Passo 6

Conclusão lógica final: já que existem pelo menos dois caminhos que se aproximam de (0,0) e dão limites diferentes (por exemplo, 0 e 1), a definição de limite em \mathbb{R}^{2} não é satisfeita. Portanto o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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