Prove que para a função
dada, o limite quando
tende a
não existe.
Passo 1
O enunciado pede para provar que o limite
não existe, onde a função é
Informações relevantes dadas: a expressão de
para pontos
próximos de
(exceto possivelmente em
se a função não estiver definida aí). A tarefa é verificar se existe um número real
tal que
se aproxima de
quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro explico, com calma, o que significa existir limite em duas variáveis (a definição formal): dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
. Um corolário prático e muito usado em provas é: se o limite existir, então qualquer caminho (ou qualquer sequência) que leve
a
deve produzir o mesmo valor limite
. Logo, uma maneira eficiente de provar que o limite não existe é encontrar dois caminhos para
que produzam limites diferentes — aí já dá contradição.
Estratégia escolhida: vou calcular os limites de
ao longo de caminhos simples que chegam em
. Se eu achar dois caminhos com limites distintos, concluo que o limite total não existe. Vou usar dois caminhos bem simples: a reta
e a reta
. Eles são fáceis de calcular e costumam dar respostas diferentes quando a função não tem limite.
Passo 3
Calculo do limite ao longo da reta
. Substituo
na expressão de
(para
):
Portanto, ao aproximar
de
pela reta
(ou seja, pontos
com
), o valor de
é sempre
, então o limite ao longo desse caminho é
Passo 4
Calculo do limite ao longo da reta
. Substituo
na expressão de
(para
):
Logo, ao aproximar
de
pela reta
(pontos
com
), o valor de
é sempre
, então o limite ao longo desse caminho é
Passo 5
Comparando os resultados dos Passos 4 e 5: ao aproximar
pela reta
obtenho limite
, e pela reta
obtenho limite
. Como esses dois resultados são diferentes, não pode existir um único número
que seja o limite de
quando
. Isso porque, se existisse tal
, o valor de
ao longo de qualquer caminho que vá a
teria de tender a
; aqui temos caminhos que dão 0 e 1, contradizendo a unicidade.
Um complemento didático: podemos ver que existe uma família inteira de limites diferentes ao tomar retas
(com
constante). Substituindo
na função (para
):
Esse valor é constante em
(quando
), então o limite quando
ao longo da reta
é
Como
depende de
, mudando
obtemos diferentes valores possíveis (por exemplo,
dá
,
dá
, e
corresponde à reta
dando
). Isso reforça claramente que não há um único limite ao redor de
.
Passo 6
Conclusão lógica final: já que existem pelo menos dois caminhos que se aproximam de
e dão limites diferentes (por exemplo,
e
), a definição de limite em
não é satisfeita. Portanto o limite de
quando
não existe.
Resposta
O limite não existe.