Prove que:
A=P-\vec{u} se, e somente se, \vec{u}=\overrightarrow{A P};

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • O enunciado dá dois pontos A e P e um vetor \vec{u}.
  • Ele escreve uma igualdade que mistura ponto e vetor: A = P - \vec{u}.
  • Ele também usa a notação de vetor entre pontos: \overrightarrow{AP}.
  • O pedido é provar que as duas afirmações são equivalentes: mostrar que A = P - \vec{u}\quad\text{se, e somente se,}\quad \vec{u} = \overrightarrow{AP}.
  • Ou seja, devemos demonstrar as duas implicações:
    1. Se A = P - \vec{u} então \vec{u} = \overrightarrow{AP}.
    2. Se \vec{u} = \overrightarrow{AP} então A = P - \vec{u}.
Nada mais será assumido além da aritmética usual entre pontos e vetores em um espaço afim (isto é, ponto mais vetor é ponto, ponto menos vetor é ponto, e a diferença entre vetores tem o sentido usual).

Passo 2

Vou fixar uma maneira prática e padrão de trabalhar: escolher uma origem O qualquer e associar a cada ponto sua “posição” em relação a O.
  • Defina \vec{p} := \overrightarrow{OP} como o vetor posição do ponto P.
  • Defina \vec{a} := \overrightarrow{OA} como o vetor posição do ponto A.
Explicação didática rápida: em geometria afim é comum representar um ponto X pelo vetor \overrightarrow{OX} relativo a uma origem O. Igualdade de pontos corresponde à igualdade dos seus vetores posição (duas maneiras de dizer a mesma coisa). Além disso, para quaisquer pontos X,Y vale a relação
\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}.
Vou usar essa relação básica muitas vezes; agora mostro por que ela é verdadeira.

Passo 3

Prova da relação fundamental \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}.
  • Pela definição de adição de vetores entre pontos temos a identidade de “fecho do paralelogramo”: \overrightarrow{OX} + \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY}.Isso significa: ir de O a X e depois de X a Y é o mesmo que ir diretamente de O a Y.
  • Subtraindo \overrightarrow{OX} de ambos os lados (subtração de vetores é a operação inversa da adição) obtemos \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}.
  • Aplicando essa identidade aos pontos A e P teremos, em particular, \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \vec{p} - \vec{a}.
Aqui cada símbolo tem significado: \vec{p} é o vetor posição de P e \vec{a} é o vetor posição de A.

Passo 4

Prova da primeira implicação: se A = P - \vec{u} então \vec{u} = \overrightarrow{AP}.
  • A igualdade de pontos A = P - \vec{u} significa, em termos de vetores posição, que os vetores posição correspondentes são iguais; isto é, \vec{a} = \vec{p} - \vec{u}.(Aqui usei a convenção do Passo 2: \vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{p}=\overrightarrow{OP}.)
  • Reorganizando essa igualdade para isolar \vec{u} \vec{u} = \vec{p} - \vec{a}.
  • Pelo resultado do Passo 3 sabemos que \vec{p}-\vec{a} = \overrightarrow{AP}. Portanto \vec{u} = \overrightarrow{AP},como queríamos provar.
Intuição: A=P-\vec{u} significa "saio de P e vou na direção -\vec{u} até A"; isso implica que o vetor que vai de A a P é exatamente \vec{u}.

Passo 5

Prova da segunda implicação: se \vec{u} = \overrightarrow{AP} então A = P - \vec{u}.
  • Começamos com \vec{u} = \overrightarrow{AP}.
  • Usando a fórmula do Passo 3 para \overrightarrow{AP} obtemos \vec{u} = \vec{p} - \vec{a}.
  • Agora isole \vec{a}: \vec{a} = \vec{p} - \vec{u}.
  • Igualdade entre vetores posição \vec{a} = \vec{p} - \vec{u} corresponde à igualdade entre os pontos que eles representam, isto é, A = P - \vec{u}.Assim mostramos a implicação desejada.
Intuição reversa: se o vetor de A para P é \vec{u}, então tirando \vec{u} de P (isto é, indo de P no sentido -\vec{u}) chega-se a A.

Passo 6

Conclusão e comentário final.
  • Reunindo Passos 4 e 5, provou-se ambas as implicações; portanto as duas afirmações são equivalentes: A = P - \vec{u}\quad\Longleftrightarrow\quad \vec{u} = \overrightarrow{AP}.
  • Em palavras simples: subtrair de P o vetor \vec{u} dá um ponto A exatamente quando \vec{u} é o vetor que vai de A a P.

Resposta

\;A=P-\vec{u}\iff \vec{u}=\overrightarrow{AP}\;

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