Prove que: A=P-\vec{u} se, e somente se, \vec{u}=\overrightarrow{A P};
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado pede e o que nos é dado.
O enunciado dá dois pontos A e P e um vetor \vec{u}.
Ele escreve uma igualdade que mistura ponto e vetor: A = P - \vec{u}.
Ele também usa a notação de vetor entre pontos: \overrightarrow{AP}.
O pedido é provar que as duas afirmações são equivalentes: mostrar queA = P - \vec{u}\quad\text{se, e somente se,}\quad \vec{u} = \overrightarrow{AP}.
Ou seja, devemos demonstrar as duas implicações:
Se A = P - \vec{u} então \vec{u} = \overrightarrow{AP}.
Se \vec{u} = \overrightarrow{AP} então A = P - \vec{u}.
Nada mais será assumido além da aritmética usual entre pontos e vetores em um espaço afim (isto é, ponto mais vetor é ponto, ponto menos vetor é ponto, e a diferença entre vetores tem o sentido usual).
Passo 2
Vou fixar uma maneira prática e padrão de trabalhar: escolher uma origem O qualquer e associar a cada ponto sua “posição” em relação a O.
Defina \vec{p} := \overrightarrow{OP} como o vetor posição do ponto P.
Defina \vec{a} := \overrightarrow{OA} como o vetor posição do ponto A.
Explicação didática rápida: em geometria afim é comum representar um ponto X pelo vetor \overrightarrow{OX} relativo a uma origem O. Igualdade de pontos corresponde à igualdade dos seus vetores posição (duas maneiras de dizer a mesma coisa). Além disso, para quaisquer pontos X,Y vale a relação
Vou usar essa relação básica muitas vezes; agora mostro por que ela é verdadeira.
Passo 3
Prova da relação fundamental \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}.
Pela definição de adição de vetores entre pontos temos a identidade de “fecho do paralelogramo”:\overrightarrow{OX} + \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY}.Isso significa: ir de O a X e depois de X a Y é o mesmo que ir diretamente de O a Y.
Subtraindo \overrightarrow{OX} de ambos os lados (subtração de vetores é a operação inversa da adição) obtemos\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}.
Aplicando essa identidade aos pontos A e P teremos, em particular,\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \vec{p} - \vec{a}.
Aqui cada símbolo tem significado: \vec{p} é o vetor posição de P e \vec{a} é o vetor posição de A.
Passo 4
Prova da primeira implicação: se A = P - \vec{u} então \vec{u} = \overrightarrow{AP}.
A igualdade de pontos A = P - \vec{u} significa, em termos de vetores posição, que os vetores posição correspondentes são iguais; isto é,\vec{a} = \vec{p} - \vec{u}.(Aqui usei a convenção do Passo 2: \vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{p}=\overrightarrow{OP}.)
Reorganizando essa igualdade para isolar \vec{u} dá\vec{u} = \vec{p} - \vec{a}.
Pelo resultado do Passo 3 sabemos que \vec{p}-\vec{a} = \overrightarrow{AP}. Portanto\vec{u} = \overrightarrow{AP},como queríamos provar.
Intuição: A=P-\vec{u} significa "saio de P e vou na direção -\vec{u} até A"; isso implica que o vetor que vai de A a P é exatamente \vec{u}.
Passo 5
Prova da segunda implicação: se \vec{u} = \overrightarrow{AP} então A = P - \vec{u}.
Começamos com \vec{u} = \overrightarrow{AP}.
Usando a fórmula do Passo 3 para \overrightarrow{AP} obtemos\vec{u} = \vec{p} - \vec{a}.
Agora isole \vec{a}:\vec{a} = \vec{p} - \vec{u}.
Igualdade entre vetores posição \vec{a} = \vec{p} - \vec{u} corresponde à igualdade entre os pontos que eles representam, isto é,A = P - \vec{u}.Assim mostramos a implicação desejada.
Intuição reversa: se o vetor de A para P é \vec{u}, então tirando \vec{u} de P (isto é, indo de P no sentido -\vec{u}) chega-se a A.
Passo 6
Conclusão e comentário final.
Reunindo Passos 4 e 5, provou-se ambas as implicações; portanto as duas afirmações são equivalentes:A = P - \vec{u}\quad\Longleftrightarrow\quad \vec{u} = \overrightarrow{AP}.
Em palavras simples: subtrair de P o vetor \vec{u} dá um ponto A exatamente quando \vec{u} é o vetor que vai de A a P.