e que muda de sinal sob permutações anticíclicas. Use o produto misto para encontrar a equação do plano que passa pelos pontos P_{1}=(1,0,2), P_{2}=(3,1,0) e P_{3}=(0,2,1).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Provar que o produto misto satisfaz \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) (invariância sob permutações cíclicas) e que muda de sinal sob permutações anticíclicas.
Usar o produto misto para obter a equação do plano que passa pelos pontos P_{1}=(1,0,2), P_{2}=(3,1,0) e P_{3}=(0,2,1).
Informações fornecidas:
Três vetores genéricos \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.
Três pontos P_{1},P_{2},P_{3} com coordenadas dadas.
Passo 2
Definição e representação útil do produto misto.
O produto misto entre \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} é o número escalar
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).
Uma representação muito útil é por determinante: se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3), \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), \mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3), então
Explicando: o determinante acima tem como colunas (ou linhas, dependendo da convenção) as componentes dos vetores; o valor numérico desse determinante coincide com o produto misto. Vou usar essa igualdade para provar as propriedades pedidas.]
Passo 3
Prova da invariância por permutações cíclicas usando a representação por determinante.
faça uma permutação cíclica das colunas: levar a coluna de \mathbf{a} para a coluna de \mathbf{b}, a coluna de \mathbf{b} para a coluna de \mathbf{c} e a de \mathbf{c} para a de \mathbf{a}. O determinante com colunas ciclicamente deslocadas é
Mas esse determinante é exatamente \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a}). Uma propriedade elementar dos determinantes é que uma rotação cíclica das colunas (ou das linhas) não altera o valor do determinante. Portanto
Aplicando a mesma ideia mais uma vez obtemos \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}). Assim a igualdade cíclica está provada:
Prova de que o produto misto muda de sinal sob permutações anticíclicas.
Uma permutação anticíclica (isto é, trocar a ordem trocando apenas duas colunas, por exemplo trocar \mathbf{b} e \mathbf{c}) é uma transposição, e cada transposição troca o sinal do determinante. Alternativamente, usamos a anti comutatividade do produto vetorial:
Portanto trocar a ordem de dois vetores (uma permutação anticíclica) muda o sinal do produto misto. Conclui-se que o produto misto é totalmente alternante: ele muda de sinal sob qualquer troca de dois vetores.
Passo 5
Como usar o produto misto para obter a equação do plano que passa por três pontos.
Se P_{1},P_{2},P_{3} são três pontos distintos, então quaisquer ponto X=(x,y,z) pertence ao plano determinado por eles se, e somente se, os vetores \overrightarrow{P_1P_2}, \overrightarrow{P_1P_3} e \overrightarrow{P_1X} forem coplanares. Vetores são coplanares exatamente quando o produto misto é zero. Logo a condição do ponto X estar no plano é
Isto é equivalente à forma padrão da equação do plano \mathbf{n}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{p_1})=0, onde \mathbf{n}=\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3} é um vetor normal ao plano.
Passo 6
Calcular os vetores \overrightarrow{P_1P_2} e \overrightarrow{P_1P_3}.
Dados P_{1}=(1,0,2), P_{2}=(3,1,0), P_{3}=(0,2,1), os vetores são:
Verificação rápida (confirmação extra para dar confiança).
Substituir P_2=(3,1,0):
3\cdot3 +4\cdot1 +5\cdot0 -13 = 9+4-13=0.
Substituir P_3=(0,2,1):
3\cdot0 +4\cdot2 +5\cdot1 -13 = 0+8+5-13=0.
Ambos obedecem a equação, então está correta.
Resposta
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\n \mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{b})=-\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) (muda de sinal sob permutações anticíclicas)\n