Prove que o produto misto é invariante sob permutações cíclicas:
\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b} \cdot(\mathbf{c} \times \mathbf{a})=\mathbf{c} \cdot(\mathbf{a} \times \mathbf{b})
e que muda de sinal sob permutações anticíclicas. Use o produto misto para encontrar a equação do plano que passa pelos pontos P_{1}=(1,0,2), P_{2}=(3,1,0) e P_{3}=(0,2,1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Provar que o produto misto satisfaz \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) (invariância sob permutações cíclicas) e que muda de sinal sob permutações anticíclicas.
  • Usar o produto misto para obter a equação do plano que passa pelos pontos P_{1}=(1,0,2), P_{2}=(3,1,0) e P_{3}=(0,2,1).
Informações fornecidas:
  • Três vetores genéricos \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.
  • Três pontos P_{1},P_{2},P_{3} com coordenadas dadas.

Passo 2

Definição e representação útil do produto misto.
O produto misto entre \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} é o número escalar
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).
Uma representação muito útil é por determinante: se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3), \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), \mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3), então
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\[4pt] a_2 & b_2 & c_2\\[4pt] a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}.
Explicando: o determinante acima tem como colunas (ou linhas, dependendo da convenção) as componentes dos vetores; o valor numérico desse determinante coincide com o produto misto. Vou usar essa igualdade para provar as propriedades pedidas.]

Passo 3

Prova da invariância por permutações cíclicas usando a representação por determinante.
Partindo de
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\[4pt] a_2 & b_2 & c_2\\[4pt] a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix},
faça uma permutação cíclica das colunas: levar a coluna de \mathbf{a} para a coluna de \mathbf{b}, a coluna de \mathbf{b} para a coluna de \mathbf{c} e a de \mathbf{c} para a de \mathbf{a}. O determinante com colunas ciclicamente deslocadas é
\begin{vmatrix} b_1 & c_1 & a_1\\[4pt] b_2 & c_2 & a_2\\[4pt] b_3 & c_3 & a_3 \end{vmatrix}.
Mas esse determinante é exatamente \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a}). Uma propriedade elementar dos determinantes é que uma rotação cíclica das colunas (ou das linhas) não altera o valor do determinante. Portanto
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\[4pt] a_2 & b_2 & c_2\\[4pt] a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b_1 & c_1 & a_1\\[4pt] b_2 & c_2 & a_2\\[4pt] b_3 & c_3 & a_3 \end{vmatrix} = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a}).
Aplicando a mesma ideia mais uma vez obtemos \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}). Assim a igualdade cíclica está provada:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) = \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}).]

Passo 4

Prova de que o produto misto muda de sinal sob permutações anticíclicas.
Uma permutação anticíclica (isto é, trocar a ordem trocando apenas duas colunas, por exemplo trocar \mathbf{b} e \mathbf{c}) é uma transposição, e cada transposição troca o sinal do determinante. Alternativamente, usamos a anti comutatividade do produto vetorial:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{b}) = \mathbf{a}\cdot\big(-(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\big) = -\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).
Portanto trocar a ordem de dois vetores (uma permutação anticíclica) muda o sinal do produto misto. Conclui-se que o produto misto é totalmente alternante: ele muda de sinal sob qualquer troca de dois vetores.

Passo 5

Como usar o produto misto para obter a equação do plano que passa por três pontos.
Se P_{1},P_{2},P_{3} são três pontos distintos, então quaisquer ponto X=(x,y,z) pertence ao plano determinado por eles se, e somente se, os vetores \overrightarrow{P_1P_2}, \overrightarrow{P_1P_3} e \overrightarrow{P_1X} forem coplanares. Vetores são coplanares exatamente quando o produto misto é zero. Logo a condição do ponto X estar no plano é
\big(\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}\big)\cdot\overrightarrow{P_1X}=0.
Isto é equivalente à forma padrão da equação do plano \mathbf{n}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{p_1})=0, onde \mathbf{n}=\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3} é um vetor normal ao plano.

Passo 6

Calcular os vetores \overrightarrow{P_1P_2} e \overrightarrow{P_1P_3}.
Dados P_{1}=(1,0,2), P_{2}=(3,1,0), P_{3}=(0,2,1), os vetores são:
\overrightarrow{P_1P_2} = P_2-P_1 = (3-1,\;1-0,\;0-2) = (2,1,-2),
\overrightarrow{P_1P_3} = P_3-P_1 = (0-1,\;2-0,\;1-2) = (-1,2,-1).

Passo 7

Calcular o vetor normal \mathbf{n}=\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3} passo a passo.
Usando a fórmula do produto vetorial:
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & 1 & -2\\[4pt] -1 & 2 & -1 \end{vmatrix},
então as componentes são
n_x = 1\cdot(-1) - (-2)\cdot 2 = -1 +4 = 3,
n_y = (-2)\cdot(-1) - 2\cdot(-1) = 2 -(-2)=4,
n_z = 2\cdot 2 - 1\cdot(-1) = 4 +1 =5.
Portanto
\mathbf{n}=(3,4,5).]

Passo 8

Escrever a equação do plano usando \mathbf{n}.
A equação vetorial do plano é \mathbf{n}\cdot(\mathbf{x}-P_1)=0. Em coordenadas, para \mathbf{x}=(x,y,z) e P_1=(1,0,2),
(3,4,5)\cdot(x-1,y-0,z-2)=0.
Expandindo:
3(x-1)+4(y-0)+5(z-2)=0.
Simplificando:
3x-3 +4y +5z-10 =0 \quad\Rightarrow\quad 3x+4y+5z-13=0.

Passo 9

Verificação rápida (confirmação extra para dar confiança).
Substituir P_2=(3,1,0):
3\cdot3 +4\cdot1 +5\cdot0 -13 = 9+4-13=0.
Substituir P_3=(0,2,1):
3\cdot0 +4\cdot2 +5\cdot1 -13 = 0+8+5-13=0.
Ambos obedecem a equação, então está correta.

Resposta

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\n
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{b})=-\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) (muda de sinal sob permutações anticíclicas)\n
3x+4y+5z-13=0

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