Prove a proposição 4: Para \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Z} :
\alpha-(-\beta)=\alpha+\beta

Passo 1

O enunciado pede para provar a proposição abaixo, onde \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{Z}:
\alpha-(-\beta)=\alpha+\beta
Informações dadas:
\alpha, \beta e \gamma são inteiros (note que \gamma foi dada mas não é necessária na prova).
A pergunta é: mostrar, usando as definições/algebra dos inteiros, que subtrair o oposto de \beta é o mesmo que somar \beta.

Passo 2

Lembrando a definição de subtração em termos de adição: para quaisquer inteiros a e b definimos
a-b := a + (-b)
Aqui -b é o inverso aditivo de b, ou seja, o inteiro que somado a b dá zero. Vou explicar isso com calma.

Passo 3

O que significa “inverso aditivo”? Para um inteiro qualquer x existe um inteiro (denotado por -x) tal que
x + (-x) = 0
Esse -x é único: se y e y' fossem dois inversos aditivos de x, teríamos x+y=0 e x+y'=0. Subtraindo x (ou somando o inverso de x) nas duas igualdades obtemos y=y', logo o inverso é único.

Passo 4

Aplicando a definição ao caso específico: pela definição de subtração,
\alpha - (-\beta) = \alpha + \bigl(-(-\beta)\bigr)
ou seja, subtrair -\beta é somar o inverso aditivo de -\beta.

Passo 5

Agora mostramos que o inverso aditivo de -\beta é exatamente \beta. De fato, como -\beta é o inverso aditivo de \beta, temos
\beta + (-\beta) = 0
mas a adição é comutativa, então também
(-\beta) + \beta = 0
Isto mostra que \beta é um inverso aditivo de -\beta. Pela unicidade do inverso aditivo (mostrada no Passo 3) segue que
-(-\beta) = \beta

Passo 6

Substituindo esta igualdade na expressão do Passo 4 obtemos
\alpha - (-\beta) = \alpha + \beta
E pronto: isso é exatamente o que queríamos provar.

Passo 7

Um exemplo numérico para fixar a ideia: tome \alpha=5 e \beta=3. Então
5 - (-3) = 5 + 3 = 8
o que ilustra a propriedade de forma concreta.

Resposta

\alpha-(-\beta)=\alpha+\beta

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