Prove a proposição 4: Para
:
Passo 1
O enunciado pede para provar a proposição abaixo, onde
:
Informações dadas:
,
e
são inteiros (note que
foi dada mas não é necessária na prova).
A pergunta é: mostrar, usando as definições/algebra dos inteiros, que subtrair o oposto de é o mesmo que somar
.
A pergunta é: mostrar, usando as definições/algebra dos inteiros, que subtrair o oposto de
Passo 2
Lembrando a definição de subtração em termos de adição: para quaisquer inteiros
e
definimos
Aqui
é o inverso aditivo de
, ou seja, o inteiro que somado a
dá zero. Vou explicar isso com calma.
Passo 3
O que significa “inverso aditivo”? Para um inteiro qualquer
existe um inteiro (denotado por
) tal que
Esse
é único: se
e
fossem dois inversos aditivos de
, teríamos
e
. Subtraindo
(ou somando o inverso de
) nas duas igualdades obtemos
, logo o inverso é único.
Passo 4
Aplicando a definição ao caso específico: pela definição de subtração,
ou seja, subtrair
é somar o inverso aditivo de
.
Passo 5
Agora mostramos que o inverso aditivo de
é exatamente
. De fato, como
é o inverso aditivo de
, temos
mas a adição é comutativa, então também
Isto mostra que
é um inverso aditivo de
. Pela unicidade do inverso aditivo (mostrada no Passo 3) segue que
Passo 6
Substituindo esta igualdade na expressão do Passo 4 obtemos
E pronto: isso é exatamente o que queríamos provar.
Passo 7
Um exemplo numérico para fixar a ideia: tome
e
. Então
o que ilustra a propriedade de forma concreta.