Prove a proposição 4: Para
:
Passo 1
O enunciado nos dá que
e pede que provemos a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
Apenas
e
aparecem na igualdade que queremos provar;
está presente no enunciado mas não será utilizada na demonstração.
Passo 2
Definição e propriedade básica que vamos usar: para cada inteiro
existe um único inteiro denominado inverso aditivo de
, escrito
, tal que
Vou provar brevemente a unicidade do inverso aditivo (essa é uma ferramenta clássica que permite identificar dois candidatos a inverso quando ambos anulam o número): suponha que
e
são inversos aditivos de
, isto é,
Então
onde, em cada passo, usei as propriedades da adição em
: existência do elemento neutro
, associatividade e comutatividade. Assim
, provando que o inverso aditivo é único.
Passo 3
Estratégia técnica: mostrar que o inteiro
é um inverso aditivo de
. Se conseguirmos isso, pela unicidade do inverso aditivo do Passo 2 concluímos que esse inverso é exatamente
.
Calculemos a soma de
com
. Usando associatividade e comutatividade da adição, escrevemos os termos em sequência e os agrupamos de forma conveniente:
Pela comutatividade podemos trocar
e
, e pela associatividade agrupar como pares
e
:
Cada par é da forma
, que é
por definição do inverso aditivo. Logo
Portanto obtivemos
o que mostra que
é um inverso aditivo de
.
Passo 4
Aplicando a unicidade do inverso aditivo (Passo 2): existe exatamente um elemento que somado a
dá
, e nós sabemos que esse elemento é, por definição,
. Como também mostramos que
satisfaz essa propriedade, concluímos que os dois são iguais: