Prove a proposição 4: Para \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Z} :
-\alpha-\beta=-(\alpha+\beta)

Passo 1

O enunciado nos dá que \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{Z} e pede que provemos a igualdade
-\alpha-\beta=-(\alpha+\beta).
Informações relevantes fornecidas:
\alpha\in\mathbb{Z},\qquad \beta\in\mathbb{Z},\qquad \gamma\in\mathbb{Z}.
Apenas \alpha e \beta aparecem na igualdade que queremos provar; \gamma está presente no enunciado mas não será utilizada na demonstração.

Passo 2

Definição e propriedade básica que vamos usar: para cada inteiro a existe um único inteiro denominado inverso aditivo de a, escrito -a, tal que
a+(-a)=0.
Vou provar brevemente a unicidade do inverso aditivo (essa é uma ferramenta clássica que permite identificar dois candidatos a inverso quando ambos anulam o número): suponha que b e c são inversos aditivos de a, isto é,
a+b=0\quad\text{e}\quad a+c=0.
Então
b = b+0 = b+(a+c) = (b+a)+c = (a+b)+c = 0+c = c,
onde, em cada passo, usei as propriedades da adição em \mathbb{Z}: existência do elemento neutro 0, associatividade e comutatividade. Assim b=c, provando que o inverso aditivo é único.

Passo 3

Estratégia técnica: mostrar que o inteiro -\alpha-\beta é um inverso aditivo de \alpha+\beta. Se conseguirmos isso, pela unicidade do inverso aditivo do Passo 2 concluímos que esse inverso é exatamente -(\alpha+\beta).
Calculemos a soma de \alpha+\beta com -\alpha-\beta. Usando associatividade e comutatividade da adição, escrevemos os termos em sequência e os agrupamos de forma conveniente:
(\alpha+\beta)+(-\alpha -\beta) = \alpha+\beta+(-\alpha)+(-\beta).
Pela comutatividade podemos trocar \beta e -\alpha, e pela associatividade agrupar como pares \alpha+(-\alpha) e \beta+(-\beta):
\alpha+\beta+(-\alpha)+(-\beta) = \alpha+(-\alpha)+\beta+(-\beta).
Cada par é da forma x+(-x), que é 0 por definição do inverso aditivo. Logo
\alpha+(-\alpha)+\beta+(-\beta) = 0 + 0 = 0.
Portanto obtivemos
(\alpha+\beta)+(-\alpha-\beta)=0,
o que mostra que -\alpha-\beta é um inverso aditivo de \alpha+\beta.

Passo 4

Aplicando a unicidade do inverso aditivo (Passo 2): existe exatamente um elemento que somado a \alpha+\beta 0, e nós sabemos que esse elemento é, por definição, -(\alpha+\beta). Como também mostramos que -\alpha-\beta satisfaz essa propriedade, concluímos que os dois são iguais:
-\alpha-\beta = -(\alpha+\beta).

Resposta

-\alpha-\beta=-(\alpha+\beta)

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