Prove a proposição 4: Para
:
Passo 1
O enunciado pede para provar, para
, que
Informações dadas:
são inteiros. Não há outras hipóteses. A justificativa deve partir das propriedades básicas da adição e do inverso aditivo em
.
Passo 2
Recordando definições e propriedades que vamos usar (explicadas com calma):
onde
é o inverso aditivo de
, isto é,
Vou usar essas propriedades passo a passo, explicando por que cada manipulação é válida.
Passo 3
Provar uma pequena lema necessária:
.
Prova do lema:
Defina . Pela definição de inverso aditivo,
Defina . Pela definição de inverso aditivo,
Agora calculemos
Usando associatividade e comutatividade, reagrupamos e emparelhamos inversos:
Cada par
e
vale
por definição do inverso aditivo, então
Portanto tanto
quanto
são inversos aditivos de
. Pela unicidade do inverso aditivo (propriedade (iii)) concluímos
Passo 4
Agora transformamos o membro esquerdo usando as definições e o lema:
Começamos aplicando a definição de subtração:
Substituímos o resultado do lema:
Usamos associatividade da adição para remover parênteses à esquerda:
Reconhecemos
como
pela definição de subtração, logo
Finalmente, aplicando novamente a definição de subtração ao último termo, obtemos
Passo 5
Juntando as igualdades encadeadas que obtivemos, obtemos a igualdade desejada:
Isso conclui a prova, e cada passo foi justificado usando apenas definição de subtração, propriedade do inverso aditivo, associatividade e comutatividade da adição, e unicidade do inverso aditivo.