Prove a proposição 4: Para \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Z} :
\quad \alpha-(\beta+\gamma)=\alpha-\beta-\gamma

Passo 1

O enunciado pede para provar, para \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{Z}, que
\alpha-(\beta+\gamma)=\alpha-\beta-\gamma.
Informações dadas: \alpha,\beta,\gamma são inteiros. Não há outras hipóteses. A justificativa deve partir das propriedades básicas da adição e do inverso aditivo em \mathbb{Z}.

Passo 2

Recordando definições e propriedades que vamos usar (explicadas com calma):
\text{(i)}\quad a-b\defeq a+(-b)\quad\text{(definição de subtração)},
onde -b é o inverso aditivo de b, isto é,
b+(-b)=0.
\text{(ii)}\quad\text{A adição em }\mathbb{Z}\text{ é associativa e comutativa.}çãé
\text{(iii)}\quad\text{O inverso aditivo é único: se }u+v=0\text{ e }w+v=0\text{ então }u=w.éúã
Vou usar essas propriedades passo a passo, explicando por que cada manipulação é válida.

Passo 3

Provar uma pequena lema necessária: -(\beta+\gamma)=(-\beta)+(-\gamma).
Prova do lema:
Defina x\coloneqq -(\beta+\gamma). Pela definição de inverso aditivo,
x+(\beta+\gamma)=0.
Agora calculemos
\bigl((-\beta)+(-\gamma)\bigr)+(\beta+\gamma).
Usando associatividade e comutatividade, reagrupamos e emparelhamos inversos:
\bigl((-\beta)+(-\gamma)\bigr)+(\beta+\gamma) = \bigl((-\beta)+\beta\bigr)+\bigl((-\gamma)+\gamma\bigr).
Cada par (-\beta)+\beta e (-\gamma)+\gamma vale 0 por definição do inverso aditivo, então
\bigl((-\beta)+(-\gamma)\bigr)+(\beta+\gamma)=0+0=0.
Portanto tanto x quanto (-\beta)+(-\gamma) são inversos aditivos de \beta+\gamma. Pela unicidade do inverso aditivo (propriedade (iii)) concluímos
-(\beta+\gamma)=(-\beta)+(-\gamma).

Passo 4

Agora transformamos o membro esquerdo usando as definições e o lema:
Começamos aplicando a definição de subtração:
\alpha-(\beta+\gamma)=\alpha+(-(\beta+\gamma)).
Substituímos o resultado do lema:
\alpha+(-(\beta+\gamma))=\alpha+\bigl((-\beta)+(-\gamma)\bigr).
Usamos associatividade da adição para remover parênteses à esquerda:
\alpha+\bigl((-\beta)+(-\gamma)\bigr)=\bigl(\alpha+(-\beta)\bigr)+(-\gamma).
Reconhecemos \alpha+(-\beta) como \alpha-\beta pela definição de subtração, logo
\bigl(\alpha+(-\beta)\bigr)+(-\gamma)=(\alpha-\beta)+(-\gamma).
Finalmente, aplicando novamente a definição de subtração ao último termo, obtemos
(\alpha-\beta)+(-\gamma)=\alpha-\beta-\gamma.

Passo 5

Juntando as igualdades encadeadas que obtivemos, obtemos a igualdade desejada:
\alpha-(\beta+\gamma)=\alpha-\beta-\gamma.
Isso conclui a prova, e cada passo foi justificado usando apenas definição de subtração, propriedade do inverso aditivo, associatividade e comutatividade da adição, e unicidade do inverso aditivo.

Resposta

\alpha-(\beta+\gamma)=\alpha-\beta-\gamma

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