Prove as seguintes regras de derivação para funções vetoriais \mathbf{u}(t), \mathbf{v}(t) diferenciáveis e escalar f(t) diferenciável:
a) \frac{d}{d t}[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}]=\mathbf{u}^{\prime} \cdot \mathbf{v}+\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}^{\prime}
b) \frac{d}{d t}[\mathbf{u} \times \mathbf{v}]=\mathbf{u}^{\prime} \times \mathbf{v}+\mathbf{u} \times \mathbf{v}^{\prime}
c) \frac{d}{d t}[f \mathbf{u}]=f^{\prime} \mathbf{u}+f \mathbf{u}^{\prime}
Use o item (a) para mostrar que, se \|\mathbf{u}(t)\|=c (constante), então \mathbf{u}^{\prime}(t) \perp \mathbf{u}(t) para todo t.

Passo 1

O enunciado pede provar três regras de derivação e, em seguida, usar a primeira delas para concluir uma propriedade geométrica. As informações dadas são:
  • \mathbf{u}(t) e \mathbf{v}(t) são funções vetoriais diferenciáveis (isto é, cada componente é função diferenciável).
  • f(t) é uma função escalar diferenciável.
  • Deve-se provar:
    1. \dfrac{d}{d t}[\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}]=\mathbf{u}^{\prime}\cdot\mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}^{\prime}.
    2. \dfrac{d}{d t}[\mathbf{u}\times\mathbf{v}]=\mathbf{u}^{\prime}\times\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\mathbf{v}^{\prime}. (Aqui supõe-se que \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3, porque o produto vetorial é definido em \mathbb{R}^3.)
    3. \dfrac{d}{d t}[f\mathbf{u}]=f^{\prime}\mathbf{u}+f\mathbf{u}^{\prime}.
  • Depois, usar o item (a) para mostrar que, se \|\mathbf{u}(t)\|=c (constante), então \mathbf{u}^{\prime}(t)\perp\mathbf{u}(t) para todo t.

Passo 2

Lembretes e ferramentas que vamos usar (explicados de forma clara):
  • Definição útil: uma função vetorial \mathbf{u}(t) pode ser escrita por componentes como \mathbf{u}(t)=(u_1(t),u_2(t),\dots,u_n(t)). A derivada \mathbf{u}'(t) é tomada componente a componente:
\mathbf{u}'(t) = (u_1'(t),u_2'(t),\dots,u_n'(t)).
  • Para funções escalares diferenciáveis p(t),q(t) vale a regra do produto:
\frac{d}{dt}[p(t)\,q(t)] = p'(t)\,q(t)+p(t)\,q'(t).
Vou usar essa regra aplicada a cada componente quando for necessário.
  • A derivada é linear: \dfrac{d}{dt}[p(t)+q(t)]=p'(t)+q'(t) e \dfrac{d}{dt}[a\,p(t)]=a\,p'(t) para constante a.
    Essas propriedades são básicas e vêm diretamente da definição de derivada por limite; aqui vamos aplicá-las componente a componente.

Passo 3

Escreva \mathbf{u}(t) e \mathbf{v}(t) por componentes em \mathbb{R}^n:
\mathbf{u}(t)=(u_1(t),u_2(t),\dots,u_n(t)),\qquad \mathbf{v}(t)=(v_1(t),v_2(t),\dots,v_n(t)).
O produto escalar é a soma dos produtos das componentes:
\mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}(t)=\sum_{i=1}^n u_i(t)\,v_i(t).
Agora derivamos ambos os lados; como a derivada é linear e o somatório é finito, podemos trocar derivada e soma:
\frac{d}{dt}[\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}] = \frac{d}{dt}\left[\sum_{i=1}^n u_i v_i\right] = \sum_{i=1}^n \frac{d}{dt}[u_i v_i].
Aplicamos a regra do produto escalar a cada termo u_i v_i:
\frac{d}{dt}[u_i v_i] = u_i'\,v_i + u_i\,v_i'.
Somando para todos os i obtemos
\frac{d}{dt}[\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}] = \sum_{i=1}^n \big(u_i'\,v_i + u_i\,v_i'\big) = \sum_{i=1}^n u_i'\,v_i \;+\; \sum_{i=1}^n u_i\,v_i'.
Reconhecendo as somas como produtos escalares,
\sum_{i=1}^n u_i'\,v_i = \mathbf{u}'\cdot\mathbf{v},\qquad \sum_{i=1}^n u_i\,v_i' = \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}',
chegamos à fórmula desejada:
\frac{d}{dt}[\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}] = \mathbf{u}'\cdot\mathbf{v} + \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}'.
(Isto é simplesmente aplicar a regra do produto componente a componente e usar linearidade da derivada.)

Passo 4

Aqui trabalhamos em \mathbb{R}^3. Escreva as componentes:
\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3).
O produto vetorial tem componentes (determinante):
\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \big(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\big).
Derivando componente a componente e aplicando a regra do produto em cada termo, por exemplo para a primeira componente:
\frac{d}{dt}[u_2 v_3 - u_3 v_2] = (u_2' v_3 + u_2 v_3') - (u_3' v_2 + u_3 v_2').
Reagrupando os termos dessa primeira componente:
(u_2' v_3 - u_3' v_2) + (u_2 v_3' - u_3 v_2').
Mas esses dois parênteses são, respectivamente, a primeira componente de \mathbf{u}'\times\mathbf{v} e a primeira componente de \mathbf{u}\times\mathbf{v}'. Fazendo o mesmo para as outras duas componentes (mesmo cálculo, apenas permutando índices) obtemos:
\frac{d}{dt}[\mathbf{u}\times\mathbf{v}] = \mathbf{u}'\times\mathbf{v} + \mathbf{u}\times\mathbf{v}'.
Observação: esta prova é somente uma aplicação da regra do produto nas expressões das componentes do produto vetorial; outra via é observar que o produto vetorial é bilinear e então a derivada de uma aplicação bilinear que toma duas funções diferenciáveis é a soma das derivadas parciais (análogo ao caso escalar), mas a prova por componentes é mais direta e elementar.

Passo 5

Escreva \mathbf{u}(t)=(u_1(t),\dots,u_n(t)). O vetor f(t)\mathbf{u}(t) tem componentes f(t)\,u_i(t). Derivando componente a componente e usando a regra do produto escalar:
\frac{d}{dt}[f\,u_i] = f'\,u_i + f\,u_i'.
Agrupando as componentes de volta em vetor:
\frac{d}{dt}[f\mathbf{u}] = (f'\,u_1+f\,u_1',\dots,f'\,u_n+f\,u_n') = f'\mathbf{u}+f\mathbf{u}'.
É uma aplicação direta da regra do produto a cada componente.

Passo 6

Suponha que \|\mathbf{u}(t)\|=c (constante) para todo t. Então \|\mathbf{u}(t)\|^2=c^2 é constante também. Note que \|\mathbf{u}\|^2=\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}. Aplicando a regra do item (a) com \mathbf{v}=\mathbf{u} obtemos:
\frac{d}{dt}[\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}] = \mathbf{u}'\cdot\mathbf{u} + \mathbf{u}\cdot\mathbf{u}'.
Como o lado esquerdo é a derivada da constante c^2, ele vale zero. Além disso, \mathbf{u}'\cdot\mathbf{u} e \mathbf{u}\cdot\mathbf{u}' são iguais (produto escalar é comutativo), então
0 = \mathbf{u}'\cdot\mathbf{u} + \mathbf{u}\cdot\mathbf{u}' = 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}'.
Logo
\mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{u}'(t)=0
para todo t. Isso significa exatamente que \mathbf{u}'(t) é ortogonal a \mathbf{u}(t) para todo t, ou seja \mathbf{u}'(t)\perp\mathbf{u}(t).

Resposta

\dfrac{d}{dt}[\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}] = \mathbf{u}'\cdot\mathbf{v} + \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}'
\dfrac{d}{dt}[\mathbf{u}\times\mathbf{v}] = \mathbf{u}'\times\mathbf{v} + \mathbf{u}\times\mathbf{v}'
\dfrac{d}{dt}[f\mathbf{u}] = f'\mathbf{u} + f\mathbf{u}'
Se \|\mathbf{u}(t)\|=c constante então \mathbf{u}'(t)\perp\mathbf{u}(t) (isto é, \mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{u}'(t)=0 para todo t).

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