Prove as seguintes regras de derivação para funções vetoriais
diferenciáveis e escalar
diferenciável:
a)
b)
c)
Use o item (a) para mostrar que, se
(constante), então
para todo
.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede provar três regras de derivação e, em seguida, usar a primeira delas para concluir uma propriedade geométrica. As informações dadas são:
-
e são funções vetoriais diferenciáveis (isto é, cada componente é função diferenciável). -
é uma função escalar diferenciável. - Deve-se provar:
-
-
(Aqui supõe-se que , porque o produto vetorial é definido em .) -
-
- Depois, usar o item (a) para mostrar que, se
(constante), então para todo .
Passo 2
Lembretes e ferramentas que vamos usar (explicados de forma clara):
- Definição útil: uma função vetorial
pode ser escrita por componentes como . A derivada é tomada componente a componente:
- Para funções escalares diferenciáveis
vale a regra do produto:
Vou usar essa regra aplicada a cada componente quando for necessário.
- A derivada é linear:
e para constante .
Essas propriedades são básicas e vêm diretamente da definição de derivada por limite; aqui vamos aplicá-las componente a componente.
Passo 3
Escreva
e
por componentes em
:
O produto escalar é a soma dos produtos das componentes:
Agora derivamos ambos os lados; como a derivada é linear e o somatório é finito, podemos trocar derivada e soma:
Aplicamos a regra do produto escalar a cada termo
:
Somando para todos os
obtemos
Reconhecendo as somas como produtos escalares,
chegamos à fórmula desejada:
(Isto é simplesmente aplicar a regra do produto componente a componente e usar linearidade da derivada.)
Passo 4
Aqui trabalhamos em
. Escreva as componentes:
O produto vetorial tem componentes (determinante):
Derivando componente a componente e aplicando a regra do produto em cada termo, por exemplo para a primeira componente:
Reagrupando os termos dessa primeira componente:
Mas esses dois parênteses são, respectivamente, a primeira componente de
e a primeira componente de
. Fazendo o mesmo para as outras duas componentes (mesmo cálculo, apenas permutando índices) obtemos:
Observação: esta prova é somente uma aplicação da regra do produto nas expressões das componentes do produto vetorial; outra via é observar que o produto vetorial é bilinear e então a derivada de uma aplicação bilinear que toma duas funções diferenciáveis é a soma das derivadas parciais (análogo ao caso escalar), mas a prova por componentes é mais direta e elementar.
Passo 5
Escreva
. O vetor
tem componentes
. Derivando componente a componente e usando a regra do produto escalar:
Agrupando as componentes de volta em vetor:
É uma aplicação direta da regra do produto a cada componente.
Passo 6
Suponha que
(constante) para todo
. Então
é constante também. Note que
. Aplicando a regra do item (a) com
obtemos:
Como o lado esquerdo é a derivada da constante
, ele vale zero. Além disso,
e
são iguais (produto escalar é comutativo), então
Logo
para todo
. Isso significa exatamente que
é ortogonal a
para todo
, ou seja
.
Resposta
Se
constante então
(isto é,
para todo
).