Prove que o sistema \left\{\begin{array}{ll}x+2 y+3 z-3 t & =a \\\\ 2 x-5 y-3 z+12 t & =b \\\\ 7 x+y+8 z+5 t & =c\end{array}\right. admite solução se, e somente se, 37 a+13 b=9 c. Ache o conjunto solução do sistema quando a=2 e b=4.
e pede duas coisas: (1) provar que o sistema admite solução se, e somente se, 37a+13b=9c; (2) encontrar o conjunto solução quando a=2 e b=4.
Informações relevantes: temos três equações lineares em quatro incógnitas x,y,z,t. O sistema pode ser manipulado por combinações lineares das equações para obter condições de compatibilidade. Não vou resolver nada aqui ainda, só listei o que é pedido e o que foi dado.]
Passo 2
Estratégia (já vou aplicá‑la em seguida): para descobrir uma condição sobre a,b,c usamos combinações lineares das equações que eliminem a mesma incógnita em duas equações distintas e, então, comparamos os resultados. Isso é válido porque somar/subtrair múltiplos das equações mantém o conjunto de soluções. Vou eliminar x das equações (2) e (3) usando a equação (1).
Começo calculando (2) - 2\cdot(1). Escrevendo as contas passo a passo:
Se o sistema possui solução, a mesma quantidade y+z-2t deve valer nos dois resultados — logo as duas frações têm de ser iguais. Igualando:
\frac{2a-b}{9} = \frac{7a-c}{13}.
Passo 5
Resolvo a igualdade de frações para obter a condição entre a,b,c. Multiplicando em cruz (explico: multiplicar ambos os lados por 9\cdot13 elimina denominadores porque 9 e 13 são não nulos):
13(2a-b) = 9(7a-c).
Faço as multiplicações e agrupo termos:
26a -13b = 63a -9c.
Passo todos os termos para um lado:
0 = 63a -9c -26a +13b = 37a +13b -9c.
Portanto obtemos
37a+13b = 9c.
Comentário sobre necessidade: toda solução do sistema produz as duas expressões para y+z-2t e, portanto, necessariamente satisfaz essa identidade. Assim a condição é necessária.
Passo 6
Agora mostro suficiência: se 37a+13b=9c então as duas expressões para y+z-2t coincidem, ou seja
\frac{2a-b}{9} = \frac{7a-c}{13}.
Chamo esse valor comum de d:
d := y+z-2t = \frac{2a-b}{9} \quad(\text{igual a } \frac{7a-c}{13}\text{ se a condição for satisfeita}).çã
Então a partir das duas eliminações temos apenas uma condição linear entre y,z,t: y = d - z + 2t. As incógnitas z e t podem ser escolhidas livremente (porque temos 4 incógnitas e essencialmente 3 equações; o sistema típico dará grau de liberdade 2). Depois determinamos x a partir da primeira equação (1):
x = a - 2y - 3z + 3t.
Substituindo y = d - z + 2t em x:
x = a - 2(d - z + 2t) - 3z + 3t = a - 2d + 2z -4t -3z +3t = a - 2d - z - t.
Portanto, quando 37a+13b=9c o conjunto de soluções é
\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid z,\;t\\ \text{são livres},\\ y = d - z + 2t,\\ x = a - 2d - z - t\},ã
onde d=\dfrac{2a-b}{9} (igual a \dfrac{7a-c}{13} sob a condição).
Passo 7
Aplicando ao caso a=2 e b=4: pela condição de compatibilidade devemos ter
Portanto y+z-2t=0, isto é y = -z + 2t. E x = a - 2d - z - t = 2 - 0 - z - t = 2 - z - t. Tomando parâmetros livres \lambda:=z e \mu:=t, obtemos a descrição paramétrica das soluções: