Prove que o sistema \left\{\begin{array}{ll}x+2 y+3 z-3 t & =a \\\\ 2 x-5 y-3 z+12 t & =b \\\\ 7 x+y+8 z+5 t & =c\end{array}\right. admite solução se, e somente se, 37 a+13 b=9 c. Ache o conjunto solução do sistema quando a=2 e b=4.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x+2y+3z-3t = a,\\[4pt] 2x-5y-3z+12t = b,\\[4pt] 7x+y+8z+5t = c, \end{cases}
e pede duas coisas: (1) provar que o sistema admite solução se, e somente se, 37a+13b=9c; (2) encontrar o conjunto solução quando a=2 e b=4.
Informações relevantes: temos três equações lineares em quatro incógnitas x,y,z,t. O sistema pode ser manipulado por combinações lineares das equações para obter condições de compatibilidade. Não vou resolver nada aqui ainda, só listei o que é pedido e o que foi dado.]

Passo 2

Estratégia (já vou aplicá‑la em seguida): para descobrir uma condição sobre a,b,c usamos combinações lineares das equações que eliminem a mesma incógnita em duas equações distintas e, então, comparamos os resultados. Isso é válido porque somar/subtrair múltiplos das equações mantém o conjunto de soluções. Vou eliminar x das equações (2) e (3) usando a equação (1).
Começo calculando (2) - 2\cdot(1). Escrevendo as contas passo a passo:
(2):\; 2x-5y-3z+12t=b
2\cdot(1):\; 2x+4y+6z-6t=2a
Subtraindo linha a linha:
(2)-2(1):\; (2x-2x)+(-5y-4y)+(-3z-6z)+(12t+6t)=b-2a.
Isso dá
-9y-9z+18t = b-2a.
Dividindo ambos os lados por -9 (explico: dividir por número não nulo é operação válida e simplifica a expressão), obtemos
y+z-2t = \frac{2a-b}{9}.

Passo 3

Agora faço (3) - 7\cdot(1). Escrevo as contas:
(3):\; 7x+y+8z+5t=c
7\cdot(1):\; 7x+14y+21z-21t=7a
Subtraindo:
(3)-7(1):\; (7x-7x)+(y-14y)+(8z-21z)+(5t+21t)=c-7a,
ou seja
-13y-13z+26t = c-7a.
Dividindo por -13 (novamente para simplificar),
y+z-2t = \frac{7a-c}{13}.

Passo 4

Agora temos duas expressões para a mesma combinação linear y+z-2t:
y+z-2t = \frac{2a-b}{9} \qquad\text{e}\qquad y+z-2t = \frac{7a-c}{13}.
Se o sistema possui solução, a mesma quantidade y+z-2t deve valer nos dois resultados — logo as duas frações têm de ser iguais. Igualando:
\frac{2a-b}{9} = \frac{7a-c}{13}.

Passo 5

Resolvo a igualdade de frações para obter a condição entre a,b,c. Multiplicando em cruz (explico: multiplicar ambos os lados por 9\cdot13 elimina denominadores porque 9 e 13 são não nulos):
13(2a-b) = 9(7a-c).
Faço as multiplicações e agrupo termos:
26a -13b = 63a -9c.
Passo todos os termos para um lado:
0 = 63a -9c -26a +13b = 37a +13b -9c.
Portanto obtemos
37a+13b = 9c.
Comentário sobre necessidade: toda solução do sistema produz as duas expressões para y+z-2t e, portanto, necessariamente satisfaz essa identidade. Assim a condição é necessária.

Passo 6

Agora mostro suficiência: se 37a+13b=9c então as duas expressões para y+z-2t coincidem, ou seja
\frac{2a-b}{9} = \frac{7a-c}{13}.
Chamo esse valor comum de d:
d := y+z-2t = \frac{2a-b}{9} \quad(\text{igual a } \frac{7a-c}{13}\text{ se a condição for satisfeita}).çã
Então a partir das duas eliminações temos apenas uma condição linear entre y,z,t: y = d - z + 2t. As incógnitas z e t podem ser escolhidas livremente (porque temos 4 incógnitas e essencialmente 3 equações; o sistema típico dará grau de liberdade 2). Depois determinamos x a partir da primeira equação (1):
x = a - 2y - 3z + 3t.
Substituindo y = d - z + 2t em x:
x = a - 2(d - z + 2t) - 3z + 3t = a - 2d + 2z -4t -3z +3t = a - 2d - z - t.
Portanto, quando 37a+13b=9c o conjunto de soluções é
\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid z,\;t\\ \text{são livres},\\ y = d - z + 2t,\\ x = a - 2d - z - t\},ã
onde d=\dfrac{2a-b}{9} (igual a \dfrac{7a-c}{13} sob a condição).

Passo 7

Aplicando ao caso a=2 e b=4: pela condição de compatibilidade devemos ter
37\cdot 2 + 13\cdot 4 = 9c.
Calculo o lado esquerdo:
37\cdot 2 = 74,\qquad 13\cdot 4 = 52,\qquad 74+52=126.
Logo 9c=126 e
c = \frac{126}{9} = 14.
Assim o sistema com a=2 e b=4 só admite solução quando c=14. Agora encontro o conjunto solução nesse caso. Primeiro encontro d:
d = \frac{2a-b}{9} = \frac{2\cdot 2 -4}{9} = \frac{4-4}{9} = 0.
Portanto y+z-2t=0, isto é y = -z + 2t. E x = a - 2d - z - t = 2 - 0 - z - t = 2 - z - t. Tomando parâmetros livres \lambda:=z e \mu:=t, obtemos a descrição paramétrica das soluções:
(x,y,z,t) = (\,2 - \lambda - \mu,\; -\lambda + 2\mu,\; \lambda,\; \mu\,), \qquad \lambda,\mu\in\mathbb{R}.

Resposta

O sistema admite solução se, e somente se, 37a+13b=9c.
Para a=2 e b=4 temos c=14 e o conjunto solução é
\{(x,y,z,t)=(2-\lambda-\mu,\;- \lambda + 2\mu,\;\lambda,\;\mu)\mid \lambda,\mu\in\mathbb{R}\}.

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