Prove que:
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k^{2}+k}}=1

Passo 1

O enunciado pede para provar que a soma infinita
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k^{2}+k}}
vale 1. Informações dadas:
  • A expressão geral do termo da soma é \dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k^{2}+k}} para k=1,2,3,\dots.
  • Deve-se calcular a soma infinita (ou seja, o limite das somas parciais quando n\to\infty) e mostrar que é igual a 1.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral. Primeiro observe que
\sqrt{k^{2}+k}=\sqrt{k(k+1)}=\sqrt{k}\,\sqrt{k+1}.
Substituindo na fração, obtemos
\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k^{2}+k}}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k}\,\sqrt{k+1}}.
Agora use a álgebra elementar: para quaisquer a>0 e b>0 vale
\frac{a-b}{ab}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}.
Aplicando isso com a=\sqrt{k+1} e b=\sqrt{k} resulta
\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k}\,\sqrt{k+1}}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}.

Passo 3

Com a simplificação do Passo 2, o k-ésimo termo é
t_k=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}.
Considere a soma parcial até n:
S_n=\sum_{k=1}^{n} t_k=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right).
Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
S_n=\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right).
Note que os termos -\frac{1}{\sqrt{2}} e +\frac{1}{\sqrt{2}} se cancelam, o mesmo acontece para -\frac{1}{\sqrt{3}} e +\frac{1}{\sqrt{3}}, etc. Ou seja, há um cancelamento telescópico. Após os cancelamentos resta
S_n=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}.

Passo 4

Para obter a soma infinita, tomamos o limite quando n\to\infty:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k^{2}+k}}=\lim_{n\to\infty} S_n=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right).
Como \sqrt{n+1}\to\infty quando n\to\infty, temos \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\to 0. Portanto
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1-0=1.

Passo 5

Comentário final rápido para confiança: os termos da soma são não negativos e a soma parcial S_n=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} é uma sequência crescente e limitada por 1, o que confirma que a soma infinita converge e seu valor é 1.

Resposta

1

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