Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar que a soma infinita
vale
. Informações dadas:
- A expressão geral do termo da soma é
para . - Deve-se calcular a soma infinita (ou seja, o limite das somas parciais quando
) e mostrar que é igual a .
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral. Primeiro observe que
Substituindo na fração, obtemos
Agora use a álgebra elementar: para quaisquer
e
vale
Aplicando isso com
e
resulta
Passo 3
Com a simplificação do Passo 2, o
-ésimo termo é
Considere a soma parcial até
:
Vamos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
Note que os termos
e
se cancelam, o mesmo acontece para
e
, etc. Ou seja, há um cancelamento telescópico. Após os cancelamentos resta
Passo 4
Para obter a soma infinita, tomamos o limite quando
:
Como
quando
, temos
. Portanto
Passo 5
Comentário final rápido para confiança: os termos da soma são não negativos e a soma parcial
é uma sequência crescente e limitada por
, o que confirma que a soma infinita converge e seu valor é
.