Prove o Teorema 9: (Propriedade fundamental das frações). Se (a, b) e(c, d) são elementos de \mathbb{Z} x \mathbb{Z}^{*}, então:
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \text { se } \text { e somente se } a d=b c

Passo 1

O enunciado dá dois pares (a,b) e (c,d) pertencentes a \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*. Isso significa que a,b,c,d são inteiros e que b e d são não nulos. O que se pede é provar a equivalência:
\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad\text{se e somente se}\quad ad=bc.

Passo 2

Primeiro vamos deixar claro uma propriedade básica de frações que usaremos muitas vezes: se x e y são inteiros com y\neq0, então \dfrac{x}{y}=0 se e somente se x=0. Justificativa: se \dfrac{x}{y}=0 então multiplicando ambos os lados por y (válido porque y\neq0) obtemos x=0. Inversamente, se x=0 então \dfrac{x}{y}=\dfrac{0}{y}=0. Esse lema é trivial, mas importante — é a ideia de que uma fração é zero exatamente quando o numerador é zero (desde que o denominador não seja zero).

Passo 3

Agora provamos a implicação direta: suponha
\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.
Subtrair os dois lados leva a
\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=0.
Para transformar essa diferença em uma única fração, usamos o procedimento padrão de somar/subtrair frações: colocar sobre o mesmo denominador. Como b e d são não nulos, o denominador comum bd também é não nulo. Assim
\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}.

Passo 4

Da igualdade do Passo 3 temos
\frac{ad-bc}{bd}=0.
Aplicando o lema do Passo 2 (já que bd\neq0), concluímos que o numerador deve ser zero:
ad-bc=0.
Portanto
ad=bc.
Isso prova a direção \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow ad=bc.

Passo 5

Agora provamos a implicação recíproca: suponha
ad=bc.
Então ad-bc=0. Formando a diferença das frações como no Passo 3, obtemos
\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}=\frac{0}{bd}.

Passo 6

Como bd\neq0, temos \dfrac{0}{bd}=0 pelo mesmo lema do Passo 2. Portanto
\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=0,
o que implica
\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.
Isso prova a direção \displaystyle ad=bc\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}.

Passo 7

Juntando as duas direções do Passo 4 e do Passo 6 concluímos a equivalência desejada: as frações \dfrac{a}{b} e \dfrac{c}{d} representam o mesmo número racional se e somente se ad=bc. Note que em toda a demonstração foi essencial usar b\neq0 e d\neq0 para que operações como multiplicar por bd sejam válidas.

Resposta

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d} se e somente se \displaystyle ad=bc

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