Prove o Teorema 9: (Propriedade fundamental das frações). Se
são elementos de
, então:
Passo 1
O enunciado dá dois pares
e
pertencentes a
. Isso significa que
são inteiros e que
e
são não nulos. O que se pede é provar a equivalência:
Passo 2
Primeiro vamos deixar claro uma propriedade básica de frações que usaremos muitas vezes: se
e
são inteiros com
, então
se e somente se
. Justificativa: se
então multiplicando ambos os lados por
(válido porque
) obtemos
. Inversamente, se
então
. Esse lema é trivial, mas importante — é a ideia de que uma fração é zero exatamente quando o numerador é zero (desde que o denominador não seja zero).
Passo 3
Agora provamos a implicação direta: suponha
Subtrair os dois lados leva a
Para transformar essa diferença em uma única fração, usamos o procedimento padrão de somar/subtrair frações: colocar sobre o mesmo denominador. Como
e
são não nulos, o denominador comum
também é não nulo. Assim
Passo 4
Da igualdade do Passo 3 temos
Aplicando o lema do Passo 2 (já que
), concluímos que o numerador deve ser zero:
Portanto
Isso prova a direção
.
Passo 5
Agora provamos a implicação recíproca: suponha
Então
. Formando a diferença das frações como no Passo 3, obtemos
Passo 6
Como
, temos
pelo mesmo lema do Passo 2. Portanto
o que implica
Isso prova a direção
.
Passo 7
Juntando as duas direções do Passo 4 e do Passo 6 concluímos a equivalência desejada: as frações
e
representam o mesmo número racional se e somente se
. Note que em toda a demonstração foi essencial usar
e
para que operações como multiplicar por
sejam válidas.