(2,0 pts) Derivada e reta tangente
Seja
.
a) Calcule
.
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Seja
a) Calcule
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Calcular
. - Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto .
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a reta tangente corresponde a
.
Não começo a resolver ainda; apenas identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Vamos lembrar a regra que vamos usar primeiro: a regra do produto. Ela diz como derivar uma função que é produto de duas funções. Se temos duas funções
e
, então
Aqui cada termo significa:
-
e são as duas funções que estão sendo multiplicadas. -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a .
Exemplo curto para fixar: see , então e , logo .
Passo 3
Também precisamos da regra da cadeia para a exponencial: se
então
No nosso caso temos
, que é
com
. Como
, a derivada de
é
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto a
. Identificando
e
, temos
e, conforme o passo anterior,
. Pela regra do produto:
Fatorando
:
Isso é a expressão da derivada para qualquer
. Interprete:
é sempre positivo, e o fator
determina o sinal e o valor do declive.
Passo 5
Agora vamos calcular o ponto do gráfico em
. Substituímos em
:
Portanto o ponto no plano é
.
Passo 6
Calculamos a inclinação (derivada) no ponto
. Substituímos em
:
Significado prático: a reta tangente é horizontal em
porque a derivada (o declive) é zero.
Passo 7
Fórmula da reta tangente em
: se temos um ponto
e a inclinação
, a equação ponto-inclinação é
Aqui
,
e
. Substituindo:
Como
, a equação simplifica para
Ou seja, a reta tangente é a reta horizontal de altura
.
Resposta
a)
b) Equação da reta tangente em :
b) Equação da reta tangente em