(2,0 pts) Derivada e reta tangente
Seja g(x)=x e^{-x}.
a) Calcule g^{\prime}(x).
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g(x) no ponto x=1.

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=x e^{-x} e pede duas coisas:
  1. Calcular g^{\prime}(x).
  2. Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto x=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \;g(x)=x e^{-x}.
  • O ponto onde queremos a reta tangente corresponde a x=1.
    Não começo a resolver ainda; apenas identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Vamos lembrar a regra que vamos usar primeiro: a regra do produto. Ela diz como derivar uma função que é produto de duas funções. Se temos duas funções u(x) e v(x), então
\big(u(x)\,v(x)\big)' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui cada termo significa:
  • u(x) e v(x) são as duas funções que estão sendo multiplicadas.
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
    Exemplo curto para fixar: se u(x)=x e v(x)=\sin x, então u'(x)=1 e v'(x)=\cos x, logo (x\sin x)'=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x.

Passo 3

Também precisamos da regra da cadeia para a exponencial: se h(x)=e^{u(x)} então
h'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}.
No nosso caso temos e^{-x}, que é e^{u(x)} com u(x)=-x. Como u'(x)=-1, a derivada de e^{-x} é
\big(e^{-x}\big)' = -1\cdot e^{-x} = -e^{-x}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto a g(x)=x\cdot e^{-x}. Identificando u(x)=x e v(x)=e^{-x}, temos u'(x)=1 e, conforme o passo anterior, v'(x)=-e^{-x}. Pela regra do produto:
g'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}).
Fatorando e^{-x}:
g'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}\,(1 - x).
Isso é a expressão da derivada para qualquer x. Interprete: e^{-x} é sempre positivo, e o fator (1-x) determina o sinal e o valor do declive.

Passo 5

Agora vamos calcular o ponto do gráfico em x=1. Substituímos em g(x):
g(1)=1\cdot e^{-1}=e^{-1}.
Portanto o ponto no plano é \big(1,\;e^{-1}\big).

Passo 6

Calculamos a inclinação (derivada) no ponto x=1. Substituímos em g'(x)=e^{-x}(1-x):
g'(1)=e^{-1}\,(1-1)=e^{-1}\cdot 0 = 0.
Significado prático: a reta tangente é horizontal em x=1 porque a derivada (o declive) é zero.

Passo 7

Fórmula da reta tangente em x=a: se temos um ponto (a,g(a)) e a inclinação g'(a), a equação ponto-inclinação é
y - g(a) = g'(a)\,(x - a).
Aqui a=1, g(1)=e^{-1} e g'(1)=0. Substituindo:
y - e^{-1} = 0\cdot (x-1).
Como 0\cdot(x-1)=0, a equação simplifica para
y = e^{-1}.
Ou seja, a reta tangente é a reta horizontal de altura e^{-1}.

Resposta

a) g^{\prime}(x)=e^{-x}\,(1-x)
b) Equação da reta tangente em x=1: y=e^{-1}

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