(2,0 pts) Estudo de crescimento/ concavidade
Considere
.
a) Determine intervalos de crescimento e decrescimento e identifique máximos e mínimos locais.
b) Determine onde o gráfico é côncavo para cima / para baixo e encontre os pontos de inflexão.
Considere
a) Determine intervalos de crescimento e decrescimento e identifique máximos e mínimos locais.
b) Determine onde o gráfico é côncavo para cima / para baixo e encontre os pontos de inflexão.
Passo 1
Temos a função
definida por
. O enunciado pede duas coisas:
a) Determinar os intervalos onde
é crescente e decrescente e identificar máximos e mínimos locais.
b) Determinar onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo, e encontrar os pontos de inflexão.
As informações relevantes dadas: a expressão explícita de
válida para todo
.
Passo 2
Para decidir crescimento/decrescimento e localizar extremos locais precisamos calcular a derivada primeira
. Vou explicar a regra que vou usar: para uma função que é produto de duas funções, isto é,
, a derivada é dada pela regra do produto
Aqui
e
. Além disso, para a função exponencial composta
vale a regra da cadeia: a derivada é
. No nosso caso
e
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, calculamos
:
Sabendo
e
, obtemos
Fatorando
(que nunca é zero),
Passo 4
Agora encontramos pontos críticos: são os
onde
ou onde
não está definida. Como
para todo
, a única solução de
vem de
, isto é
. A derivada está definida em todo
, então o único ponto crítico é
.
Para decidir sinal de
em cada intervalo, analisamos o fator
:
- Se
então e como temos . - Se
então e logo .
Portanto
é crescente em todo o intervalo
e decrescente em
. Como
muda de positivo para negativo ao passar por
,
é um ponto de máximo local.
Passo 5
Para identificar a natureza do extremo com outra técnica e para estudar concavidade precisamos de
, a segunda derivada. Vou calcular
. Recordando que
novamente aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 6
Derivando
passo a passo:
Sabendo
e
, temos
Somando os termos e fatorando
,
Reescrevendo de forma mais simples (multiplicando o sinal),
Passo 7
Agora usamos
para estudar concavidade e pontos de inflexão. Como
para todo
, o sinal de
é o sinal de
.
- Se
então e assim : a função é côncava para baixo em . - Se
então e assim : a função é côncava para cima em .
No ponto
temos
e, como o sinal de
troca de negativo para positivo ao passar por
,
é um ponto de inflexão. Para dar a coordenada do ponto de inflexão calculemos o valor da função em
:
Passo 8
Vou confirmar a classificação do ponto crítico
com a segunda derivada: calculemos
.
Como
, a concavidade em
é para baixo, o que confirma que
é um ponto de máximo local. A ordenada correspondente é
Resposta
(a)
é crescente em
e decrescente em
. Máximo local em
.\n(b)
é côncava para baixo em
e côncava para cima em
. Ponto de inflexão em
.