(2,0 pts) Estudo de crescimento/ concavidade
Considere h(x)=x e^{-x}.
a) Determine intervalos de crescimento e decrescimento e identifique máximos e mínimos locais.
b) Determine onde o gráfico é côncavo para cima / para baixo e encontre os pontos de inflexão.

Passo 1

Temos a função h definida por h(x)=x e^{-x}. O enunciado pede duas coisas:
a) Determinar os intervalos onde h é crescente e decrescente e identificar máximos e mínimos locais.
b) Determinar onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo, e encontrar os pontos de inflexão.
As informações relevantes dadas: a expressão explícita de h(x) válida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Para decidir crescimento/decrescimento e localizar extremos locais precisamos calcular a derivada primeira h'(x). Vou explicar a regra que vou usar: para uma função que é produto de duas funções, isto é, u(x)\cdot v(x), a derivada é dada pela regra do produto
( u\cdot v )' = u'v + uv'.
Aqui u(x)=x e v(x)=e^{-x}. Além disso, para a função exponencial composta e^{u(x)} vale a regra da cadeia: a derivada é e^{u(x)}\cdot u'(x). No nosso caso u(x)=-x e u'(x)=-1.

Passo 3

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, calculamos h'(x):
h'(x) = \frac{d}{dx}[x]\cdot e^{-x} + x\cdot \frac{d}{dx}[e^{-x}].
Sabendo \frac{d}{dx}[x]=1 e \frac{d}{dx}[e^{-x}]=e^{-x}\cdot(-1), obtemos
h'(x) = 1\cdot e^{-x} + x\cdot (-e^{-x}).
Fatorando e^{-x} (que nunca é zero),
h'(x) = e^{-x}(1-x).

Passo 4

Agora encontramos pontos críticos: são os x onde h'(x)=0 ou onde h' não está definida. Como e^{-x}>0 para todo x, a única solução de h'(x)=0 vem de 1-x=0, isto é (x=1). A derivada está definida em todo \mathbb{R}, então o único ponto crítico é x=1.
Para decidir sinal de h' em cada intervalo, analisamos o fator (1-x):
  • Se x<1 então (1-x)>0 e como e^{-x}>0 temos h'(x)>0.
  • Se x>1 então (1-x)<0 e logo h'(x)<0.
Portanto h é crescente em todo o intervalo (-\infty,1) e decrescente em (1,\infty). Como h' muda de positivo para negativo ao passar por x=1, x=1 é um ponto de máximo local.

Passo 5

Para identificar a natureza do extremo com outra técnica e para estudar concavidade precisamos de h''(x), a segunda derivada. Vou calcular h''(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(h'(x)\bigr). Recordando que
h'(x)=e^{-x}(1-x),
novamente aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 6

Derivando h'(x)=e^{-x}(1-x) passo a passo:
h''(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x}]\cdot(1-x) + e^{-x}\cdot\frac{d}{dx}[1-x].
Sabendo \frac{d}{dx}[e^{-x}]=-e^{-x} e \frac{d}{dx}[1-x]=-1, temos
h''(x) = (-e^{-x})(1-x) + e^{-x}(-1).
Somando os termos e fatorando e^{-x},
h''(x) = -e^{-x}(1-x) - e^{-x} = -e^{-x}\bigl((1-x)+1\bigr) = -e^{-x}(2-x).
Reescrevendo de forma mais simples (multiplicando o sinal),
h''(x)=e^{-x}(x-2).

Passo 7

Agora usamos h''(x) para estudar concavidade e pontos de inflexão. Como e^{-x}>0 para todo x, o sinal de h''(x) é o sinal de (x-2).
  • Se x<2 então x-2<0 e assim h''(x)<0: a função é côncava para baixo em (-\infty,2).
  • Se x>2 então x-2>0 e assim h''(x)>0: a função é côncava para cima em (2,\infty).
No ponto x=2 temos h''(2)=0 e, como o sinal de h'' troca de negativo para positivo ao passar por 2, x=2 é um ponto de inflexão. Para dar a coordenada do ponto de inflexão calculemos o valor da função em 2:
h(2)=2e^{-2}.

Passo 8

Vou confirmar a classificação do ponto crítico x=1 com a segunda derivada: calculemos h''(1).
h''(1)=e^{-1}(1-2)=e^{-1}(-1) = -e^{-1}<0.
Como h''(1)<0, a concavidade em x=1 é para baixo, o que confirma que x=1 é um ponto de máximo local. A ordenada correspondente é
h(1)=1\cdot e^{-1}=e^{-1}.

Resposta

(a) h é crescente em (-\infty,1) e decrescente em (1,\infty). Máximo local em \left(1,e^{-1}\right)$.\n(b) h é côncava para baixo em (-\infty,2) e côncava para cima em (2,\infty). Ponto de inflexão em \left(2,2e^{-2}\right).

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