(2,0 pts) Integrais indefinidas
\int\left(\frac{3}{x^{4}}-\frac{2}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{3}{x^{4}}-\frac{2}{x^{2}}\right) dx.
Informações dadas:
\frac{3}{x^{4}}\quad\text{e}\quad\frac{2}{x^{2}}
são as parcelas do integrando. A pergunta é: qual é a primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\frac{3}{x^{4}}-\frac{2}{x^{2}}, mais a constante de integração.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever as frações como potências de x com expoente negativo, porque a regra básica de integração que vamos usar funciona direto com potências. Temos:
\frac{3}{x^{4}} = 3x^{-4},\qquad \frac{2}{x^{2}} = 2x^{-2}.
Então o integrando fica
\frac{3}{x^{4}}-\frac{2}{x^{2}} = 3x^{-4}-2x^{-2}.

Passo 3

Usamos duas propriedades simples das integrais:
  1. linearidade: \displaystyle \int (f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx;
  2. fator constante: \displaystyle \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx para constante a.
Aplicando isso, escrevemos
\int\left(3x^{-4}-2x^{-2}\right)dx = 3\int x^{-4}dx - 2\int x^{-2}dx.

Passo 4

Agora a regra que vamos usar para cada termo é a regra da potência para integrais: se n\neq -1, então
\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é o expoente (um número real), x é a variável de integração e C é a constante de integração. Exemplo rápido: \int x^{2}dx = \frac{x^{3}}{3}+C.

Passo 5

Aplicando a regra da potência ao primeiro termo 3\int x^{-4}dx:
\int x^{-4}dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = \frac{x^{-3}}{-3}.
Multiplicando pelo 3 que estava fora:
3\int x^{-4}dx = 3\cdot\frac{x^{-3}}{-3} = -x^{-3}.

Passo 6

Agora o segundo termo -2\int x^{-2}dx:
\int x^{-2}dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
Multiplicando por -2:
-2\int x^{-2}dx = -2\cdot(-x^{-1}) = 2x^{-1}.

Passo 7

Somando os dois resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva:
-x^{-3} + 2x^{-1} + C.
Reescrevendo em forma de fração (às vezes fica mais legível):
-\frac{1}{x^{3}} + \frac{2}{x} + C.

Passo 8

Verificação rápida (derivando a primitiva para ver se volta ao integrando): usando a regra da potência para derivadas, \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1},
\frac{d}{dx}\left(-x^{-3}\right)= -(-3)x^{-4}=3x^{-4},
\frac{d}{dx}\left(2x^{-1}\right)=2(-1)x^{-2}=-2x^{-2}.
Somando:
3x^{-4}-2x^{-2},
que é exatamente o integrando original. Confere!

Passo 9

Observação final e incentivo: a primitiva está definida em intervalos onde x\neq 0 (o integrando não está definido em x=0). Isso é normal; na prova, basta indicar a constante C e, se quiser, mencionar que a solução vale para x\neq 0. Força aí — você consegue!

Resposta

-\frac{1}{x^{3}}+\frac{2}{x}+C

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