(2,0 pts) Integrais indefinidas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
são as parcelas do integrando. A pergunta é: qual é a primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, encontrar uma função
tal que
, mais a constante de integração.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever as frações como potências de
com expoente negativo, porque a regra básica de integração que vamos usar funciona direto com potências. Temos:
Então o integrando fica
Passo 3
Usamos duas propriedades simples das integrais:
- linearidade:
; - fator constante:
para constante .
Aplicando isso, escrevemos
Passo 4
Agora a regra que vamos usar para cada termo é a regra da potência para integrais: se
, então
Aqui
é o expoente (um número real),
é a variável de integração e
é a constante de integração. Exemplo rápido:
.
Passo 5
Aplicando a regra da potência ao primeiro termo
:
Multiplicando pelo
que estava fora:
Passo 6
Agora o segundo termo
:
Multiplicando por
:
Passo 7
Somando os dois resultados e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva:
Reescrevendo em forma de fração (às vezes fica mais legível):
Passo 8
Verificação rápida (derivando a primitiva para ver se volta ao integrando): usando a regra da potência para derivadas,
,
Somando:
que é exatamente o integrando original. Confere!
Passo 9
Observação final e incentivo: a primitiva está definida em intervalos onde
(o integrando não está definido em
). Isso é normal; na prova, basta indicar a constante
e, se quiser, mencionar que a solução vale para
. Força aí — você consegue!