1. (PUC) Se a razão de uma P.G. é maior que 1 e o primeiro termo é negativo, a P.G. é classificada como Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante? Cite um exemplo.
    E se for o contrário, se a razão for negativa e o primeiro termo for maior que 1? Cite exemplo.

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras e separadas:
  • Pergunta A: Se a razão de uma P.G. é maior que 1 e o primeiro termo é negativo, como classificar a P.G.? (Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante?) Peça também um exemplo.
  • Pergunta B: Se a razão for negativa e o primeiro termo for maior que 1, como classificar a P.G.? Peça também um exemplo.
Informações dadas que vamos usar:
  • Uma progressão geométrica (P.G.) tem termo geral dado por \,a_n = a_1 r^{\,n-1}\,, onde \,a_1\, é o primeiro termo e \,r\, é a razão.
  • Nos dois casos temos sinais e/ou valores para \,a_1\, e \,r\, (no primeiro: r>1 e a_1<0; no segundo: r<0 e a_1>1).

Passo 2

O que é preciso saber (fórmulas e definições básicas):
  • Termo geral da P.G.: \,a_n = a_1 r^{\,n-1}\,. Aqui \,a_n\, é o n-ésimo termo, \,a_1\, é o primeiro termo e \,r\, é a razão.
  • Uma sequência é crescente se \,a_{n+1}\ge a_n\, para todo n; estritamente crescente se \,a_{n+1}>a_n\,.
  • Uma sequência é decrescente se \,a_{n+1}\le a_n\, para todo n; estritamente decrescente se \,a_{n+1}<a_n\,.
  • Diz-se que uma sequência é oscilante (ou alternada) quando os termos mudam de sinal sucessivamente (por exemplo +,-,+,-,\dots) — nesse caso ela não é monotona (nem crescente nem decrescente).

Passo 3

Análise do caso A: razão \,r>1 e primeiro termo \,a_1<0.
  • Observação sobre o sinal: como r>0, temos r^{\,n-1}>0 para todo n. Logo todos os termos têm o mesmo sinal de a_1. Como a_1<0, todos os termos são negativos.
  • Para estudar monotonicidade calcule a diferença entre termos consecutivos:
a_{n+1}-a_n = a_1 r^{\,n} - a_1 r^{\,n-1} = a_1 r^{\,n-1}(r-1).
Aqui a_1<0, r^{\,n-1}>0 e (r-1)>0 porque r>1. Portanto o produto a_1 r^{\,n-1}(r-1) é negativo, isto é
a_{n+1}-a_n < 0\quad\Rightarrow\quad a_{n+1}<a_n\\ \text{ para todo }n.
  • Conclusão: a sequência é estritamente decrescente (os termos ficam cada vez mais negativos, em módulo crescem).
  • Exemplo concreto: escolha \,a_1=-1 e \,r=2. A sequência é
-1,\\\ -2,\\\ -4,\\\ -8,\dots
que claramente vai ficando cada vez menor (mais negativo), logo decrescente.

Passo 4

Análise do caso B: razão \,r<0 e primeiro termo \,a_1>1.
  • Observação sobre o sinal: como \,r<0, o sinal de r^{\,n-1} alterna conforme n (para n ímpar, r^{\,n-1}>0; para n par, r^{\,n-1}<0, ou vice‑versa dependendo do n). Assim os termos \,a_n = a_1 r^{\,n-1}\, alternam de sinal: positivo, negativo, positivo, …
  • Isso já implica que a sequência não pode ser crescente nem decrescente (monotonia exige manter a ordem dos sinais ou não trocar repetidamente o sentido). Logo ela é oscilante.
  • Observação sobre módulo: o comportamento do tamanho dos termos depende de |r|:
    • Se |r|>1 os módulos |a_n| crescem e a alternância dá termos cada vez maiores em módulo com sinais alternados (ex.: 2,-4,8,-16,\dots).
    • Se |r|<1 os módulos |a_n| diminuem, mas continuam alternando de sinal (ex.: 2,-1,0{,}5,-0{,}25,\dots).
    • Se |r|=1 e r=-1 os termos alternam entre a_1 e -a_1 (também oscilante).
  • Conclusão: com r<0 e a_1>1 a P.G. é oscilante (alternância de sinais).
  • Exemplos:
    • Com \,a_1=2 e \,r=-2: \,2,\,-4,\,8,\,-16,\dots (oscilante, módulos crescentes).
    • Com \,a_1=2 e \,r=-\tfrac{1}{2}: \,2,\,-1,\,\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{4},\dots (oscilante, módulos decrescentes).

Resposta

Decrescente — exemplo: a_1=-1,\\ r=2 (seq.: -1,-2,-4,\dots)
Oscilante — exemplo: a_1=2,\\ r=-2 (seq.: 2,-4,8,-16,\dots)

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