- (PUC) Se a razão de uma P.G. é maior que 1 e o primeiro termo é negativo, a P.G. é classificada como Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante? Cite um exemplo.
E se for o contrário, se a razão for negativa e o primeiro termo for maior que 1? Cite exemplo.
E se for o contrário, se a razão for negativa e o primeiro termo for maior que 1? Cite exemplo.
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas claras e separadas:
- Pergunta A: Se a razão de uma P.G. é maior que
e o primeiro termo é negativo, como classificar a P.G.? (Crescente, Decrescente, Constante ou Oscilante?) Peça também um exemplo. - Pergunta B: Se a razão for negativa e o primeiro termo for maior que
, como classificar a P.G.? Peça também um exemplo.
Informações dadas que vamos usar:
- Uma progressão geométrica (P.G.) tem termo geral dado por
, onde é o primeiro termo e é a razão. - Nos dois casos temos sinais e/ou valores para
e (no primeiro: e ; no segundo: e ).
Passo 2
O que é preciso saber (fórmulas e definições básicas):
- Termo geral da P.G.:
. Aqui é o n-ésimo termo, é o primeiro termo e é a razão. - Uma sequência é crescente se
para todo ; estritamente crescente se . - Uma sequência é decrescente se
para todo ; estritamente decrescente se . - Diz-se que uma sequência é oscilante (ou alternada) quando os termos mudam de sinal sucessivamente (por exemplo
) — nesse caso ela não é monotona (nem crescente nem decrescente).
Passo 3
Análise do caso A: razão
e primeiro termo
.
- Observação sobre o sinal: como
, temos para todo . Logo todos os termos têm o mesmo sinal de . Como , todos os termos são negativos. - Para estudar monotonicidade calcule a diferença entre termos consecutivos:
Aqui
,
e
porque
. Portanto o produto
é negativo, isto é
- Conclusão: a sequência é estritamente decrescente (os termos ficam cada vez mais negativos, em módulo crescem).
- Exemplo concreto: escolha
e . A sequência é
que claramente vai ficando cada vez menor (mais negativo), logo decrescente.
Passo 4
Análise do caso B: razão
e primeiro termo
.
- Observação sobre o sinal: como
, o sinal de alterna conforme (para ímpar, ; para par, , ou vice‑versa dependendo do ). Assim os termos alternam de sinal: positivo, negativo, positivo, … - Isso já implica que a sequência não pode ser crescente nem decrescente (monotonia exige manter a ordem dos sinais ou não trocar repetidamente o sentido). Logo ela é oscilante.
- Observação sobre módulo: o comportamento do tamanho dos termos depende de
: - Se
os módulos crescem e a alternância dá termos cada vez maiores em módulo com sinais alternados (ex.: ). - Se
os módulos diminuem, mas continuam alternando de sinal (ex.: ). - Se
e os termos alternam entre e (também oscilante).
- Se
- Conclusão: com
e a P.G. é oscilante (alternância de sinais). - Exemplos:
- Com
e : (oscilante, módulos crescentes). - Com
e : (oscilante, módulos decrescentes).
- Com
Resposta
Decrescente — exemplo:
(seq.:
)
Oscilante — exemplo: (seq.:
)
Oscilante — exemplo: