Q - 2 [15 Pontos] Considere os vetores em
e o vetor
(a) Verifique que os vetores
são ortogonais dois a dois.
(b) Construa uma base ortonormal
a partir de
.
(c) Calcule o ângulo entre os vetores
e
.
(d) Determine as coordenadas do vetor
em relação à base ortonormal
utilizando produto interno.
(e) Escreva
como combinação linear dos vetores de
.
(f) Determine todos os vetores
tais que
é ortogonal a
.
(g) Determine todos os vetores
que são ortogonais simultaneamente a
.
(b) Construa uma base ortonormal
(c) Calcule o ângulo entre os vetores
(d) Determine as coordenadas do vetor
(e) Escreva
(f) Determine todos os vetores
(g) Determine todos os vetores
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores em
:
e
As perguntas são:
(a) Verificar que são ortogonais dois a dois.
(b) Construir uma base ortonormal a partir de
.
(c) Calcular o ângulo entre e
.
(d) Determinar as coordenadas de em relação à base ortonormal
usando produto interno.
(e) Escrever como combinação linear dos vetores de
.
(f) Determinar todos os vetores ortogonais a
.
(g) Determinar todos os vetores ortogonais simultaneamente a
e
.
(a) Verificar que
(b) Construir uma base ortonormal
(c) Calcular o ângulo entre
(d) Determinar as coordenadas de
(e) Escrever
(f) Determinar todos os vetores
(g) Determinar todos os vetores
Passo 2
Primeiro vamos recordar a definição usada para testar ortogonalidade: dois vetores
e
são ortogonais se e somente se o produto interno (produto escalar) deles for zero, onde
Vamos calcular os produtos internos entre os
.
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Como todos os produtos internos são zero, concluímos que
são ortogonais dois a dois.
Passo 3
Agora construímos uma base ortonormal a partir de
. Quando vetores são ortogonais, basta normalizá-los (dividir cada um pelo seu comprimento) para obter vetores unitários ortogonais — isto gera uma base ortonormal.
Recordando a norma (comprimento) de
:
Calcule as normas:
Normalizamos cada
para obter
:
Verificação rápida (opcional): cada
tem norma
e os produtos internos entre
e
são zero (pela ortogonalidade dos
e porque normalizar não altera direções), logo
é uma base ortonormal.
Passo 4
Para calcular o ângulo entre
e
, usamos a fórmula do produto interno que relaciona o cosseno do ângulo
entre dois vetores
e
:
Como
é unitário (
), a fórmula simplifica para
Calcule
:
Calcule
:
Portanto
Assim o ângulo é
Se quiser uma aproximação numérica:
Passo 5
Para obter as coordenadas de
na base ortonormal
, usamos a propriedade prática: se
é ortonormal, as coordenadas de
são dadas pelos produtos internos
ou seja,
.
Já calculamos
.
Calcule
:
Calcule
:
Portanto as coordenadas de
na base
são
Passo 6
Agora escrevemos
como combinação linear dos vetores de
. Numa base ortonormal vale sempre a expansão
Substituindo os coeficientes que achamos:
Podemos verificar multiplicando:
Somando as duas primeiras parcelas dá
. Somando com
obtemos
, confirmação completa.
Passo 7
(f) Queremos todos os vetores
ortogonais a
. A condição de ortogonalidade é
Portanto
, e
é livre (qualquer valor real). Podemos parametrizar com parâmetros
. Tomando
e
, obtemos
Geometricamente, o conjunto é um plano (2‑dimensional) passando pela origem:
.
Passo 8
(g) Agora impomos simultaneamente que
seja ortogonal a
e a
. As duas condições são
Somando as duas equações dá
então
. Subtraindo a segunda da primeira dá
então
. Não há restrição sobre
. Logo todos os vetores com
servem:
Isto é, o subespaço é uma reta (1‑dimensional) gerada por
— que coincide com a direção de
, como esperado porque
é ortogonal a
e
.
Resposta
(a)
(b) com
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)