Q - 2 [15 Pontos] Considere os vetores em \mathbb{R}^{3}
v_{1}=(1,1,0), \quad v_{2}=(1,-1,0), \quad v_{3}=(0,0,2),
e o vetor
w=(2,1,3)
(a) Verifique que os vetores v_{1}, v_{2}, v_{3} são ortogonais dois a dois.
(b) Construa uma base ortonormal \mathscr{B}=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} a partir de \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}.
(c) Calcule o ângulo entre os vetores w e u_{1}.
(d) Determine as coordenadas do vetor w em relação à base ortonormal \mathscr{B} utilizando produto interno.
(e) Escreva w como combinação linear dos vetores de \mathscr{B}.
(f) Determine todos os vetores u=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} tais que u é ortogonal a v_{1}.
(g) Determine todos os vetores u \in \mathbb{R}^{3} que são ortogonais simultaneamente a v_{1} \mathrm{e} v_{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores em \mathbb{R}^3:
v_{1}=(1,1,0),\qquad v_{2}=(1,-1,0),\qquad v_{3}=(0,0,2),
e
w=(2,1,3).
As perguntas são:
(a) Verificar que v_{1},v_{2},v_{3} são ortogonais dois a dois.
(b) Construir uma base ortonormal \mathscr{B}=\{u_{1},u_{2},u_{3}\} a partir de \{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
(c) Calcular o ângulo entre w e u_{1}.
(d) Determinar as coordenadas de w em relação à base ortonormal \mathscr{B} usando produto interno.
(e) Escrever w como combinação linear dos vetores de \mathscr{B}.
(f) Determinar todos os vetores u=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ortogonais a v_{1}.
(g) Determinar todos os vetores u\in\mathbb{R}^3 ortogonais simultaneamente a v_{1} e v_{2}.

Passo 2

Primeiro vamos recordar a definição usada para testar ortogonalidade: dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) são ortogonais se e somente se o produto interno (produto escalar) deles for zero, onde
a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Vamos calcular os produtos internos entre os v_i.
Calcule \;v_{1}\cdot v_{2}:
v_{1}\cdot v_{2} = 1\cdot1 + 1\cdot(-1) + 0\cdot0 = 1 - 1 + 0 = 0.
Calcule \;v_{1}\cdot v_{3}:
v_{1}\cdot v_{3} = 1\cdot0 + 1\cdot0 + 0\cdot2 = 0 + 0 + 0 = 0.
Calcule \;v_{2}\cdot v_{3}:
v_{2}\cdot v_{3} = 1\cdot0 + (-1)\cdot0 + 0\cdot2 = 0 + 0 + 0 = 0.
Como todos os produtos internos são zero, concluímos que v_{1},v_{2},v_{3} são ortogonais dois a dois.

Passo 3

Agora construímos uma base ortonormal a partir de \{v_1,v_2,v_3\}. Quando vetores são ortogonais, basta normalizá-los (dividir cada um pelo seu comprimento) para obter vetores unitários ortogonais — isto gera uma base ortonormal.
Recordando a norma (comprimento) de a=(a_1,a_2,a_3):
\|a\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Calcule as normas:
\|v_{1}\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}.
\|v_{2}\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2}.
\|v_{3}\|=\sqrt{0^2+0^2+2^2}=2.
Normalizamos cada v_i para obter u_i=v_i/\|v_i\|:
u_{1}=\frac{v_{1}}{\|v_{1}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right),
u_{2}=\frac{v_{2}}{\|v_{2}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right),
u_{3}=\frac{v_{3}}{\|v_{3}\|}=\left(0,0,1\right).
Verificação rápida (opcional): cada u_i tem norma 1 e os produtos internos entre u_i e u_j são zero (pela ortogonalidade dos v_i e porque normalizar não altera direções), logo \mathscr{B}=\{u_1,u_2,u_3\} é uma base ortonormal.

Passo 4

Para calcular o ângulo entre w e u_{1}, usamos a fórmula do produto interno que relaciona o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores a e b:
\cos\theta=\frac{a\cdot b}{\|a\|\\,\|b\|}.
Como u_{1} é unitário ( \|u_1\|=1), a fórmula simplifica para
\cos\theta=\frac{w\cdot u_{1}}{\|w\|}.
Calcule w\cdot u_{1}:
w\cdot u_{1} = 2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + 1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + 3\cdot 0 = \frac{2+1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}.
Calcule \|w\|:
\|w\|=\sqrt{2^2+1^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}.
Portanto
\cos\theta=\frac{\dfrac{3}{\sqrt{2}}}{\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{2}\,\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{28}}=\frac{3}{2\sqrt{7}}.
Assim o ângulo é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{2\sqrt{7}}\right).
Se quiser uma aproximação numérica:
\frac{3}{2\sqrt{7}}\approx 0,5669,\qquad \theta\approx 0,967\\ \text{rad}\approx 55,45^\circ.

Passo 5

Para obter as coordenadas de w na base ortonormal \mathscr{B}, usamos a propriedade prática: se \mathscr{B}=\{u_1,u_2,u_3\} é ortonormal, as coordenadas de w são dadas pelos produtos internos
\alpha_i = w\cdot u_i \qquad (i=1,2,3),
ou seja, [w]_{\mathscr{B}} = (w\cdot u_1,\, w\cdot u_2,\, w\cdot u_3).
Já calculamos w\cdot u_{1}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}.
Calcule w\cdot u_{2}:
w\cdot u_{2} = 2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + 1\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 3\cdot 0 = \frac{2-1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Calcule w\cdot u_{3}:
w\cdot u_{3} = 2\cdot 0 + 1\cdot 0 + 3\cdot 1 = 3.
Portanto as coordenadas de w na base \mathscr{B} são
[w]_{\mathscr{B}}=\left(\frac{3}{\sqrt{2}},\;\frac{1}{\sqrt{2}},\;3\right).

Passo 6

Agora escrevemos w como combinação linear dos vetores de \mathscr{B}. Numa base ortonormal vale sempre a expansão
w = (w\cdot u_1)u_1 + (w\cdot u_2)u_2 + (w\cdot u_3)u_3.
Substituindo os coeficientes que achamos:
w = \frac{3}{\sqrt{2}}\,u_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\,u_2 + 3\,u_3.
Podemos verificar multiplicando:
\frac{3}{\sqrt{2}}u_1 = \frac{3}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},0\right),
\frac{1}{\sqrt{2}}u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right).
Somando as duas primeiras parcelas dá \left(2,1,0\right). Somando com 3u_3=3(0,0,1)=(0,0,3) obtemos (2,1,3)=w, confirmação completa.

Passo 7

(f) Queremos todos os vetores u=(x,y,z) ortogonais a v_{1}=(1,1,0). A condição de ortogonalidade é
v_{1}\cdot u = 1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z = x + y = 0.
Portanto x = -y, e z é livre (qualquer valor real). Podemos parametrizar com parâmetros s,t\in\mathbb{R}. Tomando s=y e t=z, obtemos
u = (x,y,z) = (-s,s,t) = s(-1,1,0) + t(0,0,1).
Geometricamente, o conjunto é um plano (2‑dimensional) passando pela origem: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y=0\}.

Passo 8

(g) Agora impomos simultaneamente que u seja ortogonal a v_{1} e a v_{2}. As duas condições são
v_{1}\cdot u = x+y = 0,
v_{2}\cdot u = x - y = 0.
Somando as duas equações dá 2x = 0 então x=0. Subtraindo a segunda da primeira dá 2y=0 então y=0. Não há restrição sobre z. Logo todos os vetores com x=y=0 servem:
u=(0,0,z)=z(0,0,1),\qquad z\in\mathbb{R}.
Isto é, o subespaço é uma reta (1‑dimensional) gerada por (0,0,1) — que coincide com a direção de v_3, como esperado porque v_3 é ortogonal a v_1 e v_2.

Resposta

(a) v_{1}\cdot v_{2}=0,\quad v_{1}\cdot v_{3}=0,\quad v_{2}\cdot v_{3}=0.
(b) \mathscr{B}=\big\{u_{1},u_{2},u_{3}\big\} com u_{1}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right),\;u_{2}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right),\;u_{3}=(0,0,1).
(c) \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{3}{2\sqrt{7}}\right)\approx 0,967\\ \text{rad}\approx 55,45^\circ.
(d) [w]_{\mathscr{B}}=\left(\dfrac{3}{\sqrt{2}},\;\dfrac{1}{\sqrt{2}},\;3\right).
(e) w=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\,u_{1}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,u_{2}+3\,u_{3}.
(f) \{u=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y=0\}=\{s(-1,1,0)+t(0,0,1)\mid s,t\in\mathbb{R}\}.
(g) \{u\in\mathbb{R}^3 \mid u\perp v_{1},\,u\perp v_{2}\}=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}.

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