Quantas linhas e colunas deve ter uma matriz A para definir uma aplicação de \mathbb{R}^{4} em \mathbb{R}^{6} por T(x)=A x ?

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear definida por T(x)=A x e pede: quantas linhas e quantas colunas a matriz A deve ter para que essa aplicação seja de \mathbb{R}^{4} em \mathbb{R}^{6}.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio da aplicação: \mathbb{R}^{4}.
  • Contradomínio (imagem alvo): \mathbb{R}^{6}.
  • A aplicação é dada por multiplicação matricial T(x)=A x.

Passo 2

Entender o formato geral de uma multiplicação matriz-vetor. Seja A uma matriz de tamanho m\times n (ou seja, m linhas e n colunas) e x\in\mathbb{R}^{n} um vetor coluna com n entradas. Então o produto A x está bem definido e resulta em um vetor coluna em \mathbb{R}^{m}. Em símbolos:
A\in\mathbb{R}^{m\times n},\qquad x\in\mathbb{R}^{n} \qquad\Rightarrow\qquad A x \in \mathbb{R}^{m}.
Aqui n é o número de entradas do vetor x (número de colunas de A) e m é o número de entradas do resultado Ax (número de linhas de A).

Passo 3

Aplicando essa ideia ao nosso problema: a aplicação T recebe vetores de \mathbb{R}^{4}, ou seja, vetores coluna com 4 entradas. Para que A x seja possível com x\in\mathbb{R}^{4}, a matriz A deve ter n=4 colunas. Além disso, T(x)=A x tem como resultado vetores em \mathbb{R}^{6}, ou seja, o produto deve produzir vetores com 6 entradas; por isso A deve ter m=6 linhas.

Passo 4

Outra explicação, bem intuitiva: as colunas de A são as imagens dos vetores da base canônica do domínio. Se \{e_1,\dots,e_4\} é a base canônica de \mathbb{R}^4, então
A = \big[\,T(e_1)\;\; T(e_2)\;\; T(e_3)\;\; T(e_4)\,\big],
cada coluna T(e_j) é um vetor em \mathbb{R}^{6}, logo cada coluna tem 6 entradas (6 linhas), e como há 4 vetores da base temos 4 colunas. Isso confirma que a matriz tem 6 linhas e 4 colunas.

Passo 5

Exemplo para fixar: se fosse uma matriz genérica A compatível com x\in\mathbb{R}^{4},
A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\[4pt] \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\[4pt] a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} \end{pmatrix}, \qquad x= \begin{pmatrix} x_1\\\ x_2\\\ x_3\\\ x_4 \end{pmatrix},
então
A x = \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^{4} a_{1j}x_j\\[4pt] \sum_{j=1}^{4} a_{2j}x_j\\[4pt] \vdots\\[4pt] \sum_{j=1}^{4} a_{6j}x_j \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{6}.
Isto mostra na prática a compatibilidade entre dimensões: 4 colunas em A (uma para cada entrada de x) e 6 linhas (uma para cada componente do resultado).]

Resposta

A deve ser uma matriz 6\times4 (6 linhas e 4 colunas).

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